Ongelijkheid van Padoa

Een willekeurige driehoek ABC

In de driehoeksmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de ongelijkheid van Padoa een stelling die over een relatie tussen de lengtes van de zijden van een willekeurige driehoek $ABC$ in het euclidische vlak ${ℝ}^2$ gaat.

Deze ongelijkheid, geformuleerd door de Italiaans wiskundige Alessandro Padoa (1868 – 1937), stelt dat

voor lengtes $a$, $b$ en $c$ van de zijden van $ABC$

altijd de relatie

$abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

geldt.

De ongelijkheid van Padoa impliceert de ongelijkheid van Euler:

Voor de straal $R$ van de omgeschreven cirkel van $ABC$ en de straal $r$ van de ingeschreven cirkel van $ABC$

geldt de relatie

$R\ge 2r$ .

Verdere ongelijkheden

Ook gelden de volgende relaties:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}$

Referenties

• Sjabloon:Aut: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9, pp. 14, 58, 176
• Sjabloon:Aut: Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, pp. 93–96.
• Sjabloon:Aut: Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications . Academic Press, New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco 1979, ISBN 0-12-473750-1, p. 202
• Sjabloon:Aut: Una questione di minimo. In: Periodico di Matematiche. 4, 1925, pp. 80–85.