Igusa zeta-functie

In de diofantische meetkunde is een Igusa-zetafunctie een soort genererende functie, die het aantal oplossingen van een vergelijking telt, modulo p, p ², p ³, enzovoort.

Definitie

Voor een priemgetal p is K een p-adisch lichaam, d.w.z. $[K:{\mathbb{Q}}_p]<\mathrm{\infty }$, R de valuatiering en P het maximale ideaal. Voor $z\in K$ duiden we met $\mathrm{ord}(z)$ de waardering aan van z, $\mid z\mid =q^{-\mathrm{ord}(z)}$. We hebben ook $ac(z)=z{\pi }^{-\mathrm{ord}(z)}$ voor een uniformiserende parameter π van R .

Verder laten we $\varphi :K^n\to ℂ$ een Schwartz-Bruhat-functie zijn. Dat is een lokaal constante functie met compacte ondersteuning. Laat $\chi$ een karakter zijn van $R^{\times }$.

In deze context associeert men met een niet-constante polynoom $f(x_1,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ de Igusa zeta-functie

$Z_{\varphi }(s,\chi )=\underset{K^n}{\int }\varphi (x_1,\dots ,x_n)\chi (ac(f(x_1,\dots ,x_n)))|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

waar $s\in ℂ,\mathrm{Re}(s)>0,$ en dx de Haar-maat is, zo genormaliseerd dat $R^n$ maat 1 heeft.

Stelling van Igusa

Jun-Ichi Igusa toonde in 1974 aan dat $Z_{\varphi }(s,\chi )$ een rationale functie is in $t=q^{-s}$. Het bewijs gebruikt de stelling van Hironaka over de resolutie van singulariteiten. Later werd een geheel ander bewijs gegeven door Jan Denef dat gebruik maakte van p-adische celdecompositie.

Congruenties modulo machten van P

Laat $\varphi$ de karakteristieke functie zijn van $R^n$ en $\chi$ het triviale karakter zijn. Laat $N_i$ het aantal oplossingen zijn van de congruentie

$f(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0mod{P}^i$ .

Dan is de Igusa zeta-functie

$Z(t)=\underset{R^n}{\int }|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

nauw verwant aan de Poincaré-reeks

$P(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{-in}{N}_i{t}^i$

door

$P(t)=\frac{1-tZ(t)}{1-t}.$