Geodetische afbeelding

In de wiskunde, speciaal in de differentiaalmeetkunde, is een geodetische afbeelding een afbeelding die geodeten behoudt.

Definitie

Een afbeelding $\phi :M\to N$, tussen twee (pseudo-)Riemann-variëteiten $(M,g)$ en $(N,h)$ wordt een geodetische afbeelding genoemd, als

• $\phi$ een diffeomorfisme is van $M$ op $N$, en
• het beeld onder $\phi$ van een geodetische boog in $M$ een en geodetische boog in $N$ is, en
• ook omgekeerd het beeld onder de inverse ${\phi }^{-1}$ van een geodetische boog in $N$ een geodetische boog in $M$ is,

Voorbeelden

Laat $(M,g)$ en $(N,h)$ beide de euclidische ruimte ${ℝ}^n$ zijn met de gewone riemann-metriek. Dan is iedere eclidische isometrie een geodetische afbeelding van ${ℝ}^n$ op zichzelf.

Analoog is voor $(M,g)$ en $(N,h)$ beide de $n$-dimensionale eenheidssfeer $S_n$ met de gebruikelijke bolmetriek, iedere isometrie van de sfeer een geodetische afbeelding van $S_n$ op zichzelf.

De gnomonische projectie van de hemisfeer op het vlak is een geodetische afbeelding, omdat grootcirkels op lijnen worden afgebeeld en omgekeerd lijnen op grootcirkels.

Zij $(D,g)$ de eenheidsschijf in ${ℝ}^2$ uitgerust met de euclidische metriek, en $(D,h)$ de eenheidsschijf uitgerust met de hyperbolische metriek van het Poincaré-model in de hyperbolische meetkunde. Hoewel de twee structuren diffeomorf zijn door middel van de identiteit $i_D$, is $i_D$ geen geodetische afbeelding, omdat geodeten in de zin $h$ rechte lijnen in ${ℝ}^2$ zijn, terwijl geodeten in de zin $g$ gebogen kunnen zijn.

Wordt daarentegen de hyperbolische metriek op $D$ gegeven door het Beltrami-Klein-model, dan is de identiteit $i_D$ wel een geodetische afbeelding, aangezien hyperbolische geodeten in het Beltrami-Klein-model euclidische rechte lijnsegmenten zijn.

Referenties

• Sjabloon:Cite book
• Sjabloon:Cite book

Externe link

• MathWorld: Geodesic mapping