Poisson-haak

In het hamiltonformalisme wordt de poisson-haak voor twee dynamische grootheden $f(p_i,q_i,t)$ en $g(p_i,q_i,t)$ als volgt gedefinieerd:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}).$

waarbij $(q_i,p_i)$ de coördinaten in de faseruimte zijn.

Dit begrip werd door de Franse wiskundige Siméon Poisson in 1809 ingevoerd. De poisson-haak in de klassieke mechanica komt overeen met de commutator in de kwantummechanica.

Eigenschappen

De volgende eigenschappen gelden voor gelijk welke drie functies $f,g,h$ die afhangen van de faseruimte en de tijd:

Antisymmetrisch

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

Lineair

$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},a,b\in ℝ$

Productregel

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

Voldoen aan de Jacobi-identiteit

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

Op grond van deze eigenschappen is de Poisson-haak een voorbeeld van een Lie-haak.

Hamiltonvergelijkingen

Door gebruik te maken van de Poisson-haak kan men de vergelijkingen van Hamilton op een heel elegante manier als volgt schrijven:

$\{\begin{array}{c}\dot{q}=\{q,H\}\\ \dot{p}=\{p,H\}\end{array}$