Blokdiagonale matrix

Een blokdiagonale matrix is een vierkante blokmatrix met vierkante blokken op de hoofddiagonaal en elk ander blok gelijk aan de nulmatrix. Een blokdiagonale matrix A heeft de vorm

$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& A_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$

waarin A_kk een vierkante matrix is.

Eigenschappen

Voor de determinant en het spoor gelden de volgende eigenschappen:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{11}\cdot \dots \cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{A}_{nn}$

en

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}A=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}{A}_{11}+\dots +\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}{A}_{nn}$

De inverse van een blokdiagonale matrix is gelijk aan de blokdiagonale matrix van de inverse individuele blokmatrices, oftewel

${\left(\begin{array}{cccc}{𝐀}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝐀}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝐀}_n\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{𝐀}_1^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝐀}_2^{-1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝐀}_n^{-1}\end{array}\right)$

Indien de determinant van een blokdiagonale matrix gelijk is aan nul, zijn de individuele determinanten ook gelijk aan nul.