Killing-vorm

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de killing-vorm, vernoemd naar de Duitse wiskundige Wilhelm Killing, een symmetrische bilineaire vorm die een fundamentele rol speelt in de theorieën van de lie-groepen en lie-algebra's.

De killing-vorm werd in 1894 door de Franse wiskundige Élie Cartan in zijn proefschrift in de theorie van de lie-algebra's geïntroduceerd. Hoewel Killing weleens een opmerking had gemaakt over het belang van wat nu naar hem de killing-vorm wordt genoemd, maakte hij er in zijn eigen werk geen serieus gebruik van.

Definitie

Laat $𝔤$ een Lie-algebra zijn over een lichaam/veld $K$. Elke $x\in 𝔤$ definieert het toegevoegde endomorfisme $\mathrm{a}\mathrm{d}(x)$ (ook genoteerd als ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$) van $𝔤$ met behulp van de Lie-haak:

$\mathrm{a}\mathrm{d}(x)(y)=[x,y].$

Voor eindige $𝔤$ is de killing-vorm de symmetrische bilineaire vorm die gevormd wordt door het spoor van de samenstelling van twee zulke toegevoege endomorfismen:

$B(x,y)=\mathrm{s}\mathrm{p}(\mathrm{a}\mathrm{d}(x)\mathrm{a}\mathrm{d}(y)).$