Argument (complex getal)

Argument $\theta$ van een complex getal

Onder argument van een complex getal $z$ verstaat men in de functietheorie een op een geheel veelvoud van $2\pi$ na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar $z$ maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van $z$ wordt weergegeven als $\arg (z)$. Het argument van $z$ met een waarde tussen 0 en $2\pi$ wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd en wordt genoteerd als $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)$. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt $z$ in het complexe vlak. In plaats van de beperking tot waarden in het interval $[0,2\pi )$, wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval $(-\pi ,\pi ]$ gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval $(-\pi ,\pi ]$ van het complexe getal $z=x+iy$ kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie arctan2 worden bepaald.

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{voor}x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{voor}x<0,y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{voor}x<0,y<0\\ +\frac{1}{2}\pi & \text{voor}x=0,y>0\\ -\frac{1}{2}\pi & \text{voor}x=0,y<0\\ \text{onbepaald}& \text{voor}x=0,y=0\end{array}$

Een complex getal $z$ kan met behulp van $\arg (z)$ en z'n modulus $|z|$ als volgt worden weergegeven:

$z=|z|(\cos (\arg (z))+i\sin (\arg (z)))=|z|e^{i\arg (z)}$

Als $z$ geen zuiver imaginair getal getal is, dus niet op de imaginaire as ligt, geldt:

$\tan \arg z=\frac{\mathrm{\Im }(z)}{\mathrm{\Re }(z)}=\frac{z-\overline{z}}{z+\overline{z}}$

waarin $\overline{z}$ de complex geconjugeerde is van $z$.