Eenheidswortel

In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal $n$ de complexe $n$ -de eenheidswortels alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht $n$ worden verheven. De eenheidswortels worden ook de Moivre-getallen genoemd, naar Abraham de Moivre. In een commutatieve ring met eenheid een wordt op dezelfde wijze een eenheidswortel gedefinieerd.

De complexe $n$ -de eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat vlak $n$ -zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1 en het middelpunt op 0. De $n$ -de eenheidswortels zijn een nulpunt van $z^{n} - 1$ .

Definitie

In een commutatieve ring $R$ met eenheid heet een element $ζ \in R$ een $n$ -de eenheidswortel, als $ζ^{n} = 1$ , of anders gezegd, als $ζ$ een nulpunt is van $x^{n} - 1$ .

Een $n$ -de eenheidswortel $ζ$ wordt primitief genoemd, als $ζ^{k} \neq 1$ voor $k = 1, \dots, n - 1$ . De primitieve $n$ -de eenheidswortels zijn die $ζ^{k}$ , waarvoor $k$ en $n$ relatief priem zijn.

De $n$ -de eenheidswortels in $R$ vormen een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep $R^{\times}$ , die vaak met $μ_{n} (R)$ wordt aangegeven. Deze groep is een abelse groep en wordt een cirkelgroep genoemd.

De complexe $n$ -de eenheidswortels zijn de $n$ complexe getallen

\exp (2 π i \frac{k}{n}) = \cos (2 π \frac{k}{n}) + i \sin (2 π \frac{k}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1

Voorbeeld

De drie 3e eenheidswortels zijn geschreven met de stelling van De Moivre:

1, e^{\frac{2 i π}{3}} = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}

en

e^{\frac{- 2 i π}{3}} = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}

Literatuur

Eenheidswortel

Definitie

Voorbeeld

Literatuur

Navigatiemenu

Zoeken