Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij $f$ een functie

$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$,

dus een functie die $n$ invoerwaarden nodig heeft en $m$ waarden teruggeeft, met

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n))$,

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix $J(f)$ van $f$ als volgt gedefinieerd:

$J(f)=\frac{\partial (f_1,\cdots ,f_m)}{\partial (x_1,\cdots ,x_n)}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

Jacobiaan

In het geval dat $m=n$, dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt naar voren bij coördinatentransformaties in integralen in meer dimensies, zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten.

Jacobi-matrix en Jacobiaan zijn naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi genoemd, die in zijn loopbaan aan de ontwikkeling van het begrip determinant heeft bijgedragen.

Gradiënt

Als $m=1$, dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft, komt de jacobi-matrix met de gradiënt van $f$ overeen, notatie: $\mathrm{\nabla }f$.

Inverse

Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ in het punt $x_0\in {ℝ}^n$ continu en niet-singulier is, dan is $f$ lokaal inverteerbaar in een omgeving van $x_0$, en er geldt

$(J_{f^{-1}})(f(x_0))=[(J_f)(x_0){]}^{-1}$

De Jacobiaan kan dus worden gebruikt om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm $f(x)=b$ een oplossing heeft. Als $J(f)(x)$ regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal $f$ lokaal inverteerbaar zijn in $x$ en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

Opmerking

De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van $\partial f_i/\partial x_j$ is die van $f_i$ gedeeld door die van $x_j$ en kan daardoor van $i$ en $j$ afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.

Voorbeelden

• Transformatie van poolcoördinaten naar cartesische coördinaten bij integreren

De jacobi-matrix $\det J_f$ van de transformatie gegeven door:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \phi \\ y& =r\sin \phi \end{array}$

van poolcoördinaten $(r,\phi )$ naar cartesische coördinaten $(x,y)$ is $r$, omdat

$J_f=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right]$.

$\det J_f=r$

Dat geeft dat

$\underset{f(A)}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{A}{\iint }f(r\cos \phi ,r\sin \phi )rdrd\phi$

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

Websites

• Sjabloon:Aut. De Jacobiaan.