Legendre-polynoom

In de wiskunde is een legendre-polynoom een oplossing van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde legendre-polynoom.

Differentiaalvergelijking

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}P(x)]+n(n+1)P(x)=0$

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is).

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer $|x|<1$. Bovendien is de waarde eindig voor $x=\pm 1$, vooropgesteld dat $n$ een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een reeks van orthogonale polynomen, de legendre-polynomen

Iedere legendre-polynoom $P_n(x)$ is een veelterm van graad $n$ en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n]$

Orthogonaliteit

Een belangrijke eigenschap van de legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het $L^2$ inproduct op het interval $-1\le x\le 1$:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

Daarin is ${\delta }_{mn}$ de kronecker-delta die gelijk is aan 1 als $m=n$ en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de gram-schmidtmethode op het inproduct van de polynomen $\{1,x,x^2,\dots \}$ De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de legendre-vergelijking gezien kan worden als een sturm-liouvillevraagstuk

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}]P(x)=-\lambda P(x)$,

waar de eigenwaarde $\lambda$ overeenkomt met $n(n+1)$.

Een andere belangrijke eigenschap van legendre-polynomen stelt dat:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_n(x)\mathrm{d}x=0$

zodra $f(x)$ een veelterm is van graad strikt kleiner dan $n$.

Voorbeelden van legendre-polynomen

De eerste legendre-polynomen zijn:

$n$	$P_n(x)$	normalisatiefactor
0	$1$	$\sqrt{\frac{1}{2}}$
1	$x$	$\sqrt{\frac{3}{2}}$
2	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$	$\sqrt{\frac{5}{2}}$
3	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$	$\sqrt{\frac{7}{2}}$
4	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$	$\sqrt{\frac{9}{2}}$
5	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(63x^5-70x^3+15x)$	$\sqrt{\frac{11}{2}}$
6	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$	$\sqrt{\frac{13}{2}}$

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste zes legendre-polynomen.

Toepassingen in de natuurkunde

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

$\frac{1}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}=\frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2r{r}^{\prime }\cos \gamma }}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^{\prime k}}{r^{k+1}}{P}_k(\cos \gamma )$

hierbij zijn $r$ en $r^{\prime }$ respectievelijk de lengte van de vectoren $𝐱$ en ${𝐱}^{\prime }$ en $\gamma$ is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als $r>r^{\prime }$.

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt $𝐱$ wanneer de lading zich op punt ${𝐱}^{\prime }$ bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de laplace-vergelijking en de poissonvergelijking voor de potentiaal ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐱)$, indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. $\widehat{𝐳}$ staat voor de symmetrieas en $\theta$ is de hoek tussen de waarnemer en de as $\widehat{𝐳}$. De oplossing is dan:

$\mathrm{\Phi }(r,\theta )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[A_k{r}^k+B_k{r}^{-(k+1)}]P_k(\cos \theta )$

$A_k$ and $B_k$ moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden .

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen

Figuur 2

De legendre-polynoom is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

$\frac{1}{\sqrt{1+{\eta }^2-2\eta x}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\eta }^k{P}_k(x)$

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal $\mathrm{\Phi }(r,\theta )$ in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de $z$-as in het punt $z=a$ (Fig. 2) is te schrijven als

$\mathrm{\Phi }(r,\theta )\propto \frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2ar\cos \theta }}$

Als de straal $r$ vanaf het punt van waarneming $𝐏$ veel groter is dan $a$, is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot legendre-polynomen:

$\mathrm{\Phi }(r,\theta )\propto \frac{1}{r}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a}{r}\right)}^k{P}_k(\cos \theta )$

hierbij is $\eta =a/r<1$ $x=\cos \theta$ genomen.

In het omgekeerde geval $r\ll a$ kunnen we ook ontwikkelen tot een legendre-polynoom, wanneer we de rol van $r$ en $a$ omkeren:

Overige eigenschappen

Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

$P_k(-x)=(-1{)}^k{P}_k(x)$

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat $P_k(1)=1$.

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor $\sqrt{n+\frac{1}{2}}$

$P_{n,norm}(x)=\frac{\sqrt{n+\frac{1}{2}}}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^2-1{)}^n$

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

${P_k}^{\prime }(1)=\frac{k(k+1)}{2}$

Legendre-polynomen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

$(n+1)P_{n+1}=(2n+1)x{P}_n-n{P}_{n-1}$

en

$\frac{x^2-1}{n}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{P}_n=x{P}_n-P_{n-1}$

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

$(2n+1)P_n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[P_{n+1}-P_{n-1}]$