Nilpotente matrix

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

Definitie

De $n\times n$-matrix $A$ heet nilpotent met index $s$ als

$A^s=0$ en $A^{s-1}\ne 0$.

Eigenschappen

• De index $s$ van een nilpotente $n\times n$-matrix is kleiner of gelijk aan $n$
• De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
• Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
• De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
• Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
• Een bovendriehoeksmatrix of benedendriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

Voorbeelden

Voor de matrix $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ geldt: $A^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, dus $A$ is nilpotent met index 2

Voor de matrix $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 7\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ geldt: $B^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ en $B^3=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$, dus $B$ is nilpotent met index 3.