Secans en cosecans

Sjabloon:Legenda-lijn

De secans, Latijn voor 'de snijdende', en cosecans zijn twee verwante goniometrische functies. Ze worden aangeduid met sec en csc, of soms met cosec.

Secans

Van een scherpe hoek $b$ in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

$\sec (b)=\frac{\text{schuine zijde}}{\text{aanliggende zijde}}=\frac{\Vert OP\Vert }{\Vert OC\Vert }=\Vert OT\Vert$

De secans van een scherpe hoek $b$ in een rechthoekige driehoek is dus de omgekeerde van de cosinus van deze hoek:

$\sec (b)=\frac{1}{\cos (b)}$

De volgende vergelijking kan uit de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras worden afgeleid:

${\tan }^2(x)+1={\sec }^2(x)$

Zoals voor alle goniometrische functies is

$\sec (x)=\sec (x+2k\pi )$

Machtreeks

De secans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor $|x|<\pi /2$:

$\sec (x)=1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$

Daarin is $E_n$ een eulergetal.

Cosecans

Van een scherpe hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

$\csc (b)=\sec (90^{\circ }-b)$

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

$\csc (b)=\frac{\text{schuine zijde}}{\text{overstaande zijde}}=\frac{\Vert OP\Vert }{\Vert CP\Vert }=\Vert OK\Vert$

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

$\csc (b)=\frac{1}{\sin (b)}$

De volgende vergelijking kan worden afgeleid:

${\cot }^2(x)+1={\csc }^2(x)$

De aanduiding $\cot$ staat voor cotangens.

Machtreeks

De cosecans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor $0<|x|<\pi /2$:

$\csc (x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{B}_{2n}\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$

Daarin is $B_n$ het $n$-de bernoulligetal.

Grafieken

secans

en cosecans