Brontekst bekijken van Zestien-kwadratenidentiteit van Pfister

In de [[algebra]] is de '''zestien-kwadratenidentiteit van Pfister''' een niet-[[bilineaire afbeelding|bilineaire]] [[identiteit (wiskunde)|identiteit]] van de vorm

:<math>
\begin{align}
{} & (x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+\cdots+x_{16}^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+\cdots+y_{16}^2) \\
& \quad =  z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2+\cdots+z_{16}^2
\end{align}
</math>

Deze identiteit werd in de jaren 1960 voor het eerst [[bewijs (wiskunde)|bewezen]] door [[Hans Julius Zassenhaus|Hans Zassenhaus]] en Wolfgang Eichhorn.<ref>{{aut|[[Hans Julius Zassenhaus|H. Zassenhaus]]}} en {{aut|W. Eichhorn}}, ''Herleitung von Acht- und Sechzehn-Quadrate-Identitäten mit Hilfe von Eigenschaften der verallgemeinerten Quaternionen und der Cayley-Dicksonchen Zahlen'', Arch. Math. 17 (1966), blz. 492-496</ref> en ongeveer tegelijkertijd werd de identiteit onafhankelijk daarvan door Albrecht Pfister bewezen.<ref>{{aut|A. Pfister}}, ''Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper'', 'J. London Math. Soc. 40 (1965), blz. 159-165</ref> Er zijn verschillende versies, een beknopte luidt als volgt:

:<math>z_1 = x_1 y_1 - x_2 y_2 - x_3 y_3 - x_4 y_4 - x_5 y_5 - x_6 y_6 - x_7 y_7 - x_8 y_8 + u_1 y_9 - u_2 y_{10} - u_3 y_{11} - u_4 y_{12} - u_5 y_{13} - u_6 y_{14} - u_7 y_{15} - u_8 y_{16}</math>
:<math>z_2 = x_2 y_1 + x_1 y_2 + x_4 y_3 - x_3 y_4 + x_6 y_5 - x_5 y_6 - x_8 y_7 + x_7 y_8 + u_2 y_9 + u_1 y_{10} + u_4 y_{11} - u_3 y_{12} + u_6 y_{13} - u_5 y_{14} - u_8 y_{15} + u_7 y_{16}</math>
:<math>z_3 = x_3 y_1 - x_4 y_2 + x_1 y_3 + x_2 y_4 + x_7 y_5 + x_8 y_6 - x_5 y_7 - x_6 y_8 + u_3 y_9 - u_4 y_{10} + u_1 y_{11} + u_2 y_{12} + u_7 y_{13} + u_8 y_{14} - u_5 y_{15} - u_6 y_{16}</math>
:<math>z_4 = x_4 y_1 + x_3 y_2 - x_2 y_3 + x_1 y_4 + x_8 y_5 - x_7 y_6 + x_6 y_7 - x_5 y_8 + u_4 y_9 + u_3 y_{10} - u_2 y_{11} + u_1 y_{12} + u_8 y_{13} - u_7 y_{14} + u_6 y_{15} - u_5 y_{16}</math>
:<math>z_5 = x_5 y_1 - x_6 y_2 - x_7 y_3 - x_8 y_4 + x_1 y_5 + x_2 y_6 + x_3 y_7 + x_4 y_8 + u_5 y_9 - u_6 y_{10} - u_7 y_{11} - u_8 y_{12} + u_1 y_{13} + u_2 y_{14} + u_3 y_{15} + u_4 y_{16}</math>
:<math>z_6 = x_6 y_1 + x_5 y_2 - x_8 y_3 + x_7 y_4 - x_2 y_5 + x_1 y_6 - x_4 y_7 + x_3 y_8 + u_6 y_9 + u_5 y_{10} - u_8 y_{11} + u_7 y_{12} - u_2 y_{13} + u_1 y_{14} - u_4 y_{15} + u_3 y_{16}</math>
:<math>z_7 = x_7 y_1 + x_8 y_2 + x_5 y_3 - x_6 y_4 - x_3 y_5 + x_4 y_6 + x_1 y_7 - x_2 y_8 + u_7 y_9 + u_8 y_{10} + u_5 y_{11} - u_6 y_{12} - u_3 y_{13} + u_4 y_{14} + u_1 y_{15} - u_2 y_{16}</math>
:<math>z_8 = x_8 y_1 - x_7 y_2 + x_6 y_3 + x_5 y_4 - x_4 y_5 - x_3 y_6 + x_2 y_7 + x_1 y_8 + u_8 y_9 - u_7 y_{10} + u_6 y_{11} + u_5 y_{12} - u_4 y_{13} - u_3 y_{14} + u_2 y_{15} + u_1 y_{16}</math>
:<math>z_9  =  x_9 y_1 - x_{10} y_2 - x_{11} y_3 - x_{12} y_4 - x_{13} y_5 - x_{14} y_6 - x_{15} y_7 - x_{16} y_8 + x_1 y_9 - x_2 y_{10} - x_3 y_{11} - x_4 y_{12} - x_5 y_{13} - x_6 y_{14} - x_7 y_{15} - x_8 y_{16}</math>
:<math>z_{10} = x_{10} y_1 + x_9 y_2 + x_{12} y_3 - x_{11} y_4 + x_{14} y_5 - x_{13} y_6 - x_{16} y_7 + x_{15} y_8 + x_2 y_9 + x_1 y_{10} + x_4 y_{11} - x_3 y_{12} + x_6 y_{13} - x_5 y_{14} - x_8 y_{15} + x_7 y_{16}</math>
:<math>z_{11} = x_{11} y_1 - x_{12} y_2 + x_9 y_3 + x_{10} y_4 + x_{15} y_5 + x_{16} y_6 - x_{13} y_7 - x_{14} y_8 + x_3 y_9 - x_4 y_{10} + x_1 y_{11} + x_2 y_{12} + x_7 y_{13} + x_8 y_{14} - x_5 y_{15} - x_6 y_{16}</math>
:<math>z_{12} = x_{12} y_1 + x_{11} y_2 - x_{10} y_3 + x_9 y_4 + x_{16} y_5 - x_{15} y_6 + x_{14} y_7 - x_{13} y_8 + x_4 y_9 + x_3 y_{10} - x_2 y_{11} + x_1 y_{12} + x_8 y_{13} - x_7 y_{14} + x_6 y_{15} - x_5 y_{16}</math>
:<math>z_{13} = x_{13} y_1 - x_{14} y_2 - x_{15} y_3 - x_{16} y_4 + x_9 y_5 + x_{10} y_6 + x_{11} y_7 + x_{12} y_8 + x_5 y_9 - x_6 y_{10} - x_7 y_{11} - x_8 y_{12} + x_1 y_{13} + x_2 y_{14} + x_3 y_{15} + x_4 y_{16}</math>
:<math>z_{14} = x_{14} y_1 + x_{13} y_2 - x_{16} y_3 + x_{15} y_4 - x_{10} y_5 + x_9 y_6 - x_{12} y_7 + x_{11} y_8 + x_6 y_9 + x_5 y_{10} - x_8 y_{11} + x_7 y_{12} - x_2 y_{13} + x_1 y_{14} - x_4 y_{15} + x_3 y_{16}</math>
:<math>z_{15} = x_{15} y_1 + x_{16} y_2 + x_{13} y_3 - x_{14} y_4 - x_{11} y_5 + x_{12} y_6 + x_9 y_7 - x_{10} y_8 + x_7 y_9 + x_8 y_{10} + x_5 y_{11} - x_6 y_{12} - x_3 y_{13} + x_4 y_{14} + x_1 y_{15} - x_2 y_{16}</math>
:<math>z_{16} = x_{16} y_1 - x_{15} y_2 + x_{14} y_3 + x_{13} y_4 - x_{12} y_5 - x_{11} y_6 + x_{10} y_7 + x_9 y_8 + x_8 y_9 - x_7 y_{10} + x_6 y_{11} + x_5 y_{12} - x_4 y_{13} - x_3 y_{14} + x_2 y_{15} + x_1 y_{16}</math>

waar de <math>u_i</math> gelijk zijn aan,

:<math>u_1 = \frac{1}{c}\left((ax_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_9 - 2x_1(bx_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_2 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+ax_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{10} - 2x_2(x_1 x_9 +bx_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_3 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+ax_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{11} - 2x_3(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +bx_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_4 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+x_3^2+ax_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{12} - 2x_4(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +bx_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_5 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+ax_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{13} - 2x_5(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +bx_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_6 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+ax_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{14} - 2x_6(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +bx_6 x_{14} +x_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_7 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+ax_7^2+x_8^2)x_{15} - 2x_7(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +bx_7 x_{15} +x_8 x_{16})\right)</math>
:<math>u_8 = \frac{1}{c}\left((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+ax_8^2)x_{16} - 2x_8(x_1 x_9 +x_2 x_{10} +x_3 x_{11} +x_4 x_{12} +x_5 x_{13} +x_6 x_{14} +x_7 x_{15} +bx_8 x_{16})\right)</math>

en
:<math>a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2\,.</math>

De <math>u_i</math> dan gehoorzamen aan
:<math>u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2+u_6^2+u_7^2+u_8^2 = x_{9}^2+x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2+x_{13}^2+x_{14}^2+x_{15}^2+x_{16}^2\,</math>

De identiteit laat dus zien dat het product van twee sommen van zestien kwadraten in het algemeen de som is van zestien [[rationaal getal|rationale]] kwadraten. Als alle <math>x_i,y_i</math> met <math> i>8 </math> gelijk worden gesteld aan [[0 (getal)|nul]], dan reduceert deze identiteit tot de [[acht-kwadratenidentiteit van Degen]].

Er bestaat geen zestien kwadratenidentiteit waarbij alleen bilineaire functies betrokken zijn aangezien de [[stelling van Hurwitz (genormeerde divisiealgebra)|stelling van Hurwitz]] laat zien dat een identiteit van de vorm
:<math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2+ \cdots+x_n^2) (y_1^2 + y_2^2+y_3^2 + \cdots+y_n^2) = z_1^2+z_2^2+z_3^2 + \cdots+z_n^2 </math>

met de <math>z_i</math> [[bilineaire afbeelding|bilineair]] functies van de <math>x_i</math> en <math>y_i</math> alleen mogelijk is voor ''n'' ∈ {1, 2, 4, 8}.

De meer algemenere [[stelling van Pfister]] (1965) laat echter zien dat als de <math>z_i</math> [[rationale functie]]s zijn van slechts één [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van variabelen, (dus een [[noemer]] heeft), dat het dan mogelijk is voor alle <math>n = 2^m</math>.<ref>{{aut|Keith Conrad}}, ''Pfister's Theorem on Sums of Squares, Keith Conrad'', [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf (zie hier)]</ref> Er bestaan dus ook niet-bilineaire versies van de [[vier-kwadratenidentiteit van Euler]] en de acht-kwadratenidentiteit van Degen.

==Zie ook==
* [[Identiteit van Brahmagupta-Fibonacci]]
* [[Vier-kwadratenidentiteit van Euler]]
* [[Acht-kwadratenidentiteit van Degen]]
* [[Sedenion]]

==Voetnoten==
{{references|85%}}

==Externe link==
*{{en}} [https://web.archive.org/web/20160917055317/https://sites.google.com/site/tpiezas/0021c Zestien-kwadratenidentiteit van Pfister]

[[Categorie:Analytische getaltheorie]]
[[Categorie:Wiskundige identiteit]]