Brontekst bekijken van Vermoeden van Fermat-Catalan

In de [[getaltheorie]] combineert het '''vermoeden van Fermat-Catalan''' de ideeën van de [[laatste stelling van Fermat]] en het [[vermoeden van Catalan]], vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking <math>a^m + b^n = c^k\quad</math> slechts eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1</math>, met verschillende waardes van het co-priem tripel <math>\left(a^m, b^n, c^k\right)</math>.

In 2014 waren er 10 bekend:

:<math>1^m+2^3=3^2\;</math>
:<math>2^5+7^2=3^4\;</math>
:<math>13^2+7^3=2^9\;</math>
:<math>2^7+17^3=71^2\;</math>
:<math>3^5+11^4=122^2\;</math>
:<math>33^8+1549034^2=15613^3\;</math>
:<math>1414^3+2213459^2=65^7\;</math>
:<math>9262^3+15312283^2=113^7\;</math>
:<math>17^7+76271^3=21063928^2\;</math>
:<math>43^8+96222^3=30042907^2\;</math>

De eerste van deze (1<sup>''m''</sup>+2<sup>3</sup>=3<sup>2</sup>) is de enige oplossing waarbij een van ''a'', ''b'' of ''c'' gelijk aan 1 is, zo zegt het Vermoeden van Catalan, dat in 2002 bewezen is door [[Preda Mihăilescu]]. Hoewel deze vergelijking oneindig veel oplossingen geeft zolang ''m'' maar groter is dan 6. Dit is echter maar een oplossing aangezien dit geen verschillende waardes ''a''<sup>''m''</sup>, ''b''<sup>''n''</sup> en ''c''<sup>''k''</sup> zijn

Als het [[ABC-vermoeden]] vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar.

[[Categorie:Wiskundig vraagstuk]]
[[Categorie:Wiskundig vermoeden|Fermat-Catalan]]