Brontekst bekijken van Telmaat

In de [[maattheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''telmaat''' een intuïtieve manier om een [[maat (wiskunde)|maat]] op te leggen aan een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]: de "grootte" van een [[eindigheid|eindige]] [[deelverzameling]] is het aantal [[element (wiskunde)|element]]en van deze deelverzameling. Van een [[oneindigheid|oneindige]] deelverzameling is de telmaat ook oneindig. 

==Definitie==
Laat <math>(\Omega,\Sigma)</math> een [[Maattheorie#Meetbare ruimte|meetbare ruimte]] zijn met <math>\Sigma</math> de [[sigma-algebra]] van [[machtsverzameling|alle deelverzamelingen]] van <math>\Omega</math>. De functie <math>\mu</math> op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

:<math>\mu(A) = 
\begin{cases} 
|A| & \mbox{voor eindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\
 \\
 \infty & \mbox{voor oneindige deelverzamelingen }A\sub\Omega\\
\end{cases}
</math>

heet de ''telmaat'', en is een [[maat (wiskunde)|maat]] op <math>(\Omega,\Sigma)</math>. 

Daarbij is <math>|A|</math> de [[kardinaliteit]] van <math>A</math>, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat maakt het mogelijk veel uitspraken over [[Lp-ruimte|<math>L^p</math>-ruimten]], zoals de [[ongelijkheid van Cauchy-Schwarz]], de [[ongelijkheid van Hölder]] of de [[ongelijkheid van Minkowski]], om te zetten naar een meer bekende setting. Als <math>\Omega =\{1,\ldots, n\}</math> en <math>S=(\Omega,\Sigma,\mu)</math> de maatruimte is met telmaat <math>\mu</math> op <math>\Omega</math>, dan is <math>L^p(S)</math> gelijk aan <math>\R^n</math> (of <math>\Complex^n</math>), met een [[genormeerde vectorruimte|norm]] gedefinieerd door
:<math>\|x\|_p = \biggl( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr)^{1/p}</math>

voor <math>x =(x_1,\ldots, x_n)</math>. Het delen van de telmaat <math>\mu</math> door het aantal <math>n</math> van elementen in <math>\Omega</math> geeft de [[Uniforme verdeling (discreet)|discrete uniforme verdeling]].

Als <math>\Omega</math> de verzameling van [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] is en <math>S</math> de maatruimte met telmaat op <math>\Omega</math>, dan bestaat <math>L^p(S)</math> uit de [[rij (wiskunde)|rijen]] <math>x =(x_n)</math> waarvoor geldt
:<math>\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}< \infty</math>

Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als <math>\ell^p</math>.

De telmaat op [[aftelbare verzameling|telbare]] verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit [[Lebesgue-integraal|Lebesgue-integratie]] theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de [[monotone convergentie|monotone convergentiestelling]], het [[lemma van Fatou]], de [[gedomineerde convergentie|gedomineerde convergentiestelling]] en de [[stelling van Fubini]].

[[Categorie:Maattheorie]]