Brontekst bekijken van Sturm-liouvilleprobleem

In de [[Analyse (wiskunde)|wiskundige analyse]] is een '''sturm-liouvilleprobleem''' een naar [[Jacques Charles François Sturm|Charles Sturm]] en [[Joseph Liouville]] genoemde 2e-orde [[differentiaalvergelijking]] over het eindige [[Interval (wiskunde)|interval]] <math>I = [a,b]</math> van de vorm:
:<math>-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x) \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right] + q(x) y(x) = \lambda w(x) y(x)</math>

met de niet-triviale randvoorwaarden:
:<math>\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0</math>
:<math>\beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0</math>

Hierin zijn de [[Functie (wiskunde)|functies]] <math>p,\ p',\ q</math> en <math>w</math> [[Continue functie (analyse)|continu]] en [[Reëelwaardige functie|reëelwaardig]], met <math>p(x)>0</math> en <math>w(x)>0</math>.

Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire [[differentiaaloperator]]
:<math>L = \frac{1}{w} \left( -\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \, p\, \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} + q \right)</math>
en heeft dan de vorm van het [[Eigenwaardevergelijking|eigenwaardeprobleem]]:
:<math>Ly=\lambda\, y</math>

Er is altijd de triviale oplossing <math>y(x)=0</math>, maar voor sommige waarden van <math>\lambda</math> bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde [[Eigenwaarde_(wiskunde)|eigenwaarden]] <math>\lambda_n</math> met bijhorende [[Eigenfunctie|eigenfuncties]] <math>y_n(x)</math>.

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

* De eigenwaarden <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots</math> zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:
::<math>\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n < \ldots</math>
:met limiet 
::<math>\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty</math>

* De bij <math>\lambda_n</math> horende eigenfunctie <math>y_n(x)</math> is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact <math>n-1</math> [[Nulpunt (wiskunde)|nulpunten]] in het interval <math>(a,b)</math>.

* De eigenfuncties <math>y_n(x)</math> vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie <math>w(x)</math> over <math>[a,b]</math>
::<math>\langle y_n,y_m \rangle = \int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn}</math>

Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de [[wiskundige natuurkunde]], bijvoorbeeld in [[elektromagnetisme]], [[kwantummechanica]] en [[akoestiek]].

[[Categorie:Wiskundige analyse]]