Brontekst bekijken van Riemann-Siegel-thèta-functie

In de [[getaltheorie]], een deelgebied van de wiskunde, wordt de '''Riemann–Siegel-thèta-functie''' in termen van de [[gammafunctie]] gedefinieerd als
:<math>\theta(t) = \arg \left(
\Gamma\left(\frac{2it+1}{4}\right)
\right) 
- \frac{\log \pi}{2} t</math>
voor reële waarden van t. Hier wordt het argument zodanig gekozen dat een continue functie wordt verkregen en dat <math>\theta(0)=0</math> houdt, dat wil zeggen op dezelfde wijze als de [[principale tak]] van de [[logaritme|log]] [[gammafunctie]] wordt gedefinieerd.

De Riemann-Siegel-thèta-functie heeft een [[asymptotische expansie]]
:<math>\theta(t) \sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi} - \frac{t}{2} - \frac{\pi}{8}+\frac{1}{48t}+ \frac{7}{5760t^3}+\cdots</math>
die niet [[convergentie (wiskunde)|convergent]], maar waarvan de eerste paar termen een goede benadering geven voor <math>t \gg 1</math>. 

Haar [[Taylor-reeks]] die op 0 convergeert voor <math>|t| < 1/2</math> is
:<math>\theta(t) = -\frac{t}{2} \log \pi + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \psi^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right) }{(2k+1)!} \left(\frac{t}{2}\right)^{2k+1}</math>
waar <math>\psi^{(2k)}</math> de [[polygammafunctie]] van orde <math>2k</math> voorstelt. 

De Riemann-Siegel-thèta-functie is van belang bij het bestuderen van de [[Riemann-zèta-functie]], omdat deze thèta-functie de Riemann-zèta-functie zodanig kan [[rotatie (wiskunde)|roteren]] dat het de geheel reëel-gewaardeerde [[Z-functie]] op de [[kritieke lijn]] <math>s = 1/2 + i t</math> wordt.

[[Categorie:Algebraïsche getaltheorie]]
[[Categorie:Analytische getaltheorie]]