Lokale zèta-functie

Stel dat V een niet-singuliere n-dimensionale projectieve algebraïsche variëteit is over het veld F_q met q elementen. In de getaltheorie wordt de lokale zèta-functie Z(V, s) van V (soms ook de congruente zètafunctie genoemd) gedefinieerd als

$Z(V,s)=\exp (\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_m}{m}(q^{-s}{)}^m)$

waar N_m het aantal punten van V is, dat gedefinieerd is over de graad m met uitbreiding F_q^m van F_q.

Door de variabele transformatie $u=q^{-s}$ wordt het gedefinieerd door

$𝑍(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m\frac{u^m}{m}\right)$

als de formele machtreeksen van de variabele u.

Equivalent wordt de lokale zèta-functie soms gedefinieerd als:

$(1)𝑍(V,0)=1$

$(2)\frac{d}{du}\log 𝑍(V,u)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m{u}^{m-1}.$

Met andere woorden wordt de lokale zèta-functie Z(v,u) met coëfficiënten in het eindige veld F gedefinieerd als een functie waarvan de logaritmische afgeleide de getallen N_m van de oplossingen van de vergelijking genereert, daarbij V in de m-e graad uitbreiding F_m definiërend.