Hyperexponentiële verdeling

De hyperexponentiële verdeling is een continue kansverdeling.

Definitie

Een stochastische variabele $X$ heet hyperexponentieel verdeeld, als $X$ met kans $p_i,i=1,\dots ,n$ verdeeld is als een toevalsvariabele $X_i$ die exponentieel verdeeld is met parameter ${\lambda }_i$.

De kansdichtheid is voor $x>0$ gegeven door:

$f_X(x)=\sum _{i=1}^n{p}_i{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}$

Eigenschappen

De verwachting van een hyperexponentieel verdeelde toevalsvariabele $X$ is:

$\mathrm{E}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\sum _{i=1}^n{p}_i{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}\mathrm{d}x=\sum _{i=1}^n{p}_i\mathrm{E}(X_i)=\sum _{i=1}^n\frac{p_i}{{\lambda }_i}$

De momentgenererende functie van de hyperexponentiële verdeling is:

$M_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{f}_X(x)\mathrm{d}x=\sum _{i=1}^n{p}_i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}\mathrm{d}x=$

$=\sum _{i=1}^n{p}_i{M}_{X_i}(t)=\sum _{i=1}^n{p}_i\left(\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_i-t}\right)$

Sjabloon:Navigatie kansverdelingen