Binomiale verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de verdeling is van het aantal successen $X$ in een reeks van $n$ onafhankelijke alternatieven alle met succeskans $p$. Zo'n experiment wordt ook wel een bernoulli-experiment genoemd.

In het geval $n=1$, komt de binomiale verdeling overeen met de bernoulli-verdeling.

Definitie

In een reeks van $n$ bernoulli-experimenten kunnen $0,1,\dots ,n$ successen voorkomen. Het aantal successen is een stochastische variabele $X$. Als $p$ de kans op succes is, zegt men dat $X$ binomiaal verdeeld is met parameters $n$ en succeskans $p$, en noteert:

$X\sim B(n,p)$,

of ook

$X\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)$

De kans op precies $k$ successen kan gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat elke reeks uitkomsten met $k$ successen en $n-k$ mislukkingen dezelfde kans $p^k(1-p{)}^{n-k}$ heeft. Omdat er $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ (zie binomiaalcoëfficiënt) verschillende reeksen zijn met precies $k$ successen, wordt de kansfunctie voor $k=0,1,\dots ,n$ gegeven door:

$f(k;n,p)=P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

Voorbeeld

We gooien 4 keer met een (eerlijke) dobbelsteen. We kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 keer een 6 gooien. Het aantal keren dat we 6 gooien, $X$, is $B(4,1/6)$-verdeeld. Hoe groot is de kans dat we van de 4 worpen 1 keer een 6 gooien? Hier is $n=4,p=1/6$ en $k=1$, dus:

$P(X=1)=f(1;4,\frac{1}{6})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})(\frac{1}{6}{)}^1(1-\frac{1}{6}{)}^3=4\times \frac{1}{6}\times \frac{125}{216}=0,386$

Momenten

De verwachtingswaarde en de variantie van een $B(n,p)$-verdeelde stochastische variabele $X$ laten zich het eenvoudigst bepalen door $X$ te schrijven als de som van $n$ onafhankelijke, $B(1,p)$-verdeelde variabelen: $X=X_1+\dots +X_n$. Dan volgt:

$EX=E(X_1+\dots +X_n)=nE(X_1)=np$

en

$\mathrm{var}(X)=\mathrm{var}(X_1+\dots +X_n)=n\mathrm{var}(X_1)=np(1-p)$.

De bovenstaande relaties kunnen ook afgeleid worden met behulp van berekeningen soortgelijk aan de volgende:

$EX(X-1)(X-2)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2)\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

$=n(n-1)(n-2)p^3\sum _{k=3}^n\frac{(n-3)!}{(k-3)!(n-k)!}{p}^{k-3}(1-p{)}^{n-k}=n(n-1)(n-2)p^3$.

Uit deze betrekking kan het derde moment $E{X}^3$ bepaald worden, en daarmee de scheefheid van de verdeling.

Ook volgt daaruit direct:

$EX=\sum _{k=0}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}=np$

en

$EX(X-1)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}=n(n-1)p^2$.

Uit deze laatste relatie volgt weer:

$E{X}^2=n(n-1)p^2+np$,

zodat

$\mathrm{var}(X)=E{X}^2-(EX{)}^2=n(n-1)p^2+np-n^2{p}^2=np(1-p)$.

Benadering

Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten $n$ de exacte kansen te berekenen. Dit is ook niet nodig omdat de binomiale verdeling voor grote $n$ benaderd kan worden door een normale verdeling of door een Poissonverdeling.

Als vuistregel neemt men wel dat de $B(n,p)$-verdeling voor $n>25$ goed benaderd kan worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans $p$ niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt: $np>5$ en $n(1-p)>5$. Voor kleinere en grotere waarden van $p$ is de binomiale verdeling te scheef om door de symmetrische normale verdeling goed benaderd te worden. Een benadering door een geschikte Poissonverdeling is dan mogelijk.

Normale benadering

De stochastische variabele $X$ is $B(n,p)$-verdeeld. Voor toenemende $n$ nadert de verdeling van $X$ naar een normale verdeling, dus met verwachtingswaarde $EX=np$ en variantie $\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)$. Er geldt dus:

$P(X\le k)\approx P(Y\le k)=P(Z\le \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}})$.

Daarin is $YN(np,np(1-p))$-verdeeld en $Z$ standaardnormaal verdeeld.

Omdat de binomiale verdeling een discrete verdeling is, geldt

$P(X\le k)=P(X<k+1)\approx P(Y\le k+1)$,

hetgeen leidt tot twee (en meer) mogelijke benaderingen, die voor niet al te grote waarden van $n$ nogal verschillen. Om dit probleem te ondervangen past men wel de zogenaamde continuïteitscorrectie toe, en neemt als betere benadering een waarde tussen de genoemde uitersten, en wel:

$P(X\le k)=P(X<k+1)\approx P(Y\le k+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array})=P(Z\le \frac{k+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}-np}{\sqrt{np(1-p)}})$.

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere munt ten hoogste 10 keer kruis te gooien? Noem $X$ het aantal keren kruis; $X$ is dus $B(25,\frac{1}{2})$-verdeeld is. De gevraagde kans is:

$P(X\le 10)=0,2122$.

Omdat $EX=np=12,5$ en $\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)=6,25$, kan deze kans benaderd worden met behulp van een $N(12,5;6,25)$-verdeling.

$P(X\le 10)\approx P(Y\le 10)=P(Z\le \frac{10-12,5}{\sqrt{6,25}})=P(Z<-1)=0,1587$.

Men kan ook berekenen:

$P(X<11)\approx P(Y<11)=P(Z\le \frac{11-12,5}{\sqrt{6,25}})=P(Z<-0,6)=0,2743$.

Dat zijn twee benaderingen die nogal uiteenlopen, maar waar de werkelijke waarde wel tussen ligt. Met de continuïteitscorrectie wordt de benadering:

$P(X\le 10)\approx P(Y\le 10,5)=P(Z\le \frac{10,5-12,5}{\sqrt{6,25}})=P(Z<-0,8)=0,2119$.

Poissonbenadering

Omdat de $B(n,p)$-verdeling voor toenemende $n$ en constante waarde van $np=\mu$ nadert naar de Poissonverdeling met parameter $\mu$, kan de $B(n,p)$-verdeling voor grote waarden van $n$ en waarden van $p$ in de buurt van 0 benaderd worden door een geschikte Poissonverdeling. In dat geval geldt dus: $X\sim B(n,p)$:

$P(X\le k)\approx P(Y\le k)$.

Daarin is $Y$ Poissonverdeeld met parameter $np$.

Ook voor waarden van $p$ in de buurt van 1 kan deze benadering gebruikt worden, zij het dat men niet de verdeling van $X$ benadert, maar de verdeling van $n-X$, die $B(n,1-p)$-verdeeld is, dus met een kleine waarde van $Bp$.

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen ten hoogste 2 keer 6 te gooien? Noem $X$ het aantal keren 6. Dus $X$ is $B(25,1/6)$-verdeeld. De gevraagde kans is:

$P(X\le 2)=0,1887$.

Omdat $EX=np=25/6$ kan we deze kans benaderd worden met behulp van een Poissonverdeling met parameter 25/6.

$P(X\le 2)\approx P(Y\le 2)=0,2147$.

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen minstens 20 keer geen 6 te gooien? Noem $X$ het aantal keren dat geen 6 gegooid wordt. $X$ is dus $B(25,5/6)$-verdeeld. De gevraagde kans is:

$P(X\ge 20)=0,7720$.

Nu is $p$ tamelijk groot, maar de vraag kan ook geformuleerd worden als de kans op ten hoogste 5 keer 6.

$P(X\ge 20)=P(25-X\le 5)$.

En $25-X$ is weer $B(25,1/6)$-verdeeld, dus:

$P(X\ge 20)=P(25-X\le 5)\approx P(Y\le 5)=0,7586$.

Zie ook

• De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling die gebruikt wordt wanneer het experiment geen twee, maar meer uitkomsten heeft.
• De hypergeometrische verdeling is het analogon van de binomiale verdeling wanneer er sprake is van een steekproef uit een eindige populatie zonder terugleggen.
• Binomium van Newton.