Simpliciale verzameling

In de categorietheorie en homotopietheorie is een simpliciale verzameling een generalisatie van gerichte grafen. Formeel is een simpliciale verzameling een contravariante functor $\mathrm{\Delta }\to 𝐒𝐞𝐭$. Hier is $\mathrm{\Delta }$ de categorie met objecten $[n]=\{0,\dots ,n-1\}$ en morfismen die de partiële ordening behouden en $\mathbf{\text{Set}}$ de categorie van verzamelingen. In het bijzonder is de categorie waar de objecten simpliciële verzamelingen zijn, en de morfismen de natuurlijke transformaties een voorbeeld van een functorcategorie en van een topos.

Voorbeelden

Zenuw

Gegeven een kleine categorie $𝒞$ is de zenuw $N𝒞$ de simpliciale verzameling waar

• $N𝒞([0])=\text{Ob}(𝒞)$, de objecten van $𝒞$.
• $N𝒞([1])=\text{Mor}(𝒞)$, de morfismen van $𝒞$.
• $N𝒞([n])$ is de verzameling van ketens van $n$ samenstelbare morfismen in $𝒞$ voor $n\ge 2$.

Een equivalente definitie volgt door $[n]$ te beschouwen als de categorie met objecten $\{0,1,\dots ,n-1\}$ en een uniek morfisme $\ell \to m$ dan en als dan $\ell \le m$, in dit geval is $N𝒞([n])$ de verzameling van functoren $[n]\to 𝒞$.