QR-decompositie

In de lineaire algebra is een QR-decompositie van een vierkante matrix $A$ een opsplitsing van die matrix in een product

$A=QR$

van een orthogonale matrix $Q$ en een bovendriehoeksmatrix $R$. QR-decompositie kan gegeneraliseerd worden voor niet-vierkante matrices, waarbij de bovendriehoeksmatrix geen vierkante matrix is, maar dezelfde afmetingen heeft als $A$.

QR-decompositie wordt bij de kleinste-kwadratenmethode veel gebruikt voor het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen. Het is de basis voor het QR-algoritme, een speciaal algoritme voor het eigenwaarde-probleem.

Als de matrix $A$ $n$ lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste $n$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de kolommenruimte van $A$. In het bijzonder vormen voor $1\le k\le n$ de eerste $k$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste $k$ kolommen van $A$. Als gevolg hiervan is de matrix $R$ een driehoeksmatrix.

De QR-decompositie kan op verschillende manieren worden berekend :

• met de Gram-Schmidtmethode. Deze methode is numeriek niet stabiel.
• met householdertransformaties
• met givens-rotaties