Gamma-matrices

Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3$ die voldoen aan de relaties

${\gamma }^0{\gamma }^0=I,{\gamma }^k{\gamma }^k=-I,k=1,2,3$

en voor $\mu \ne \nu$

${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu },\mu ,\nu =0,1,2,3$

waar $I$ de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen samengevat worden als

${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2g^{\mu \nu }I$.

$g^{\mu \nu }$ is de metrische tensor

$g^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$.

Er zijn veel mogelijkheden om te voldoen aan deze relaties.

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als

${\gamma }^5:=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3$.

De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De Diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als

$(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi =0$

waarbij $\psi =\psi (x^{\mu })$ de (relativistische) golffunctie is, ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu },x^0=t,m$ is de massa van het fermion, en de einstein-sommatieconventie is gebruikt (sommatie over de index $\mu$).

Dirac-matrices

De Dirac-matrices voldoen aan bovenstaande relaties en zijn dus gamma-matrices.

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).$

${\gamma }^5=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$.

Weyl-matrices

Ook de Weyl-matrices zijn gamma-matrices:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^k$, $k=1,2,3$ zijn hetzelfde als in de Dirac matrices. ${\gamma }^5$ is diagonaal.

${\gamma }^5=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

De Weyl-matrices zijn bekend als de spinor representatie.