Differentiaal

Als $B\to A$ dan wordt $\mathrm{\Delta }x\to \mathrm{d}x$ en $\mathrm{\Delta }y\to \mathrm{d}y$

Een differentiaal is in de wiskunde een verandering (toename of afname), van een veranderlijke of een functiewaarde die oneindig klein wordt.

Als een veranderlijke een verandering $\mathrm{\Delta }x$ ondergaat en men laat die verandering tot nul naderen, dan spreekt men van de differentiaal van $x$ (notatie $\mathrm{d}x$).

Als $x$ verbonden is met $y$ door een functie $y=f(x)$, correspondeert met een verandering $\mathrm{\Delta }x$ in de veranderlijke $x$ een verandering $\mathrm{\Delta }y$ in $y$. Met de differentiaal $\mathrm{d}x$ van $x$ correspondeert de differentiaal $\mathrm{d}y$ van $y$.

Het quotiënt van de differentialen is het differentiaalquotiënt $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, de afgeleide van de functie $f(x)$, of de limiet van het differentiequotiënt.

Als bijvoorbeeld in de figuur $B$ tot $A$ nadert, nadert $\mathrm{\Delta }x$ tot 0, men spreekt dan van de differentiaal $\mathrm{d}x$ van $x$, dan wordt het differentiequotiënt $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ de afgeleide.

Berekening

• Voor een expliciete functie $y=f(x)$ van één veranderlijke is de totale differentiaal gelijk aan:

$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

• De totale differentiaal kan worden gegeneraliseerd voor expliciete functies van meerdere veranderlijken, en bevat dan bijdragen van elk van de onafhankelijke veranderlijken. Zo is de totale differentiaal van de functie:

$y=f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)$

gelijk aan:

$\mathrm{d}y=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm{d}{x}_n$

• Ook voor impliciete functies kan men dit begrip uitbreiden. Bij een impliciete functie:

$f(x,y,z,u)=0$

differentieert men eerst beide leden, zodat:

$f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_z\mathrm{d}z+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u=0$

Vervolgens kan men een van de veranderlijken als afhankelijk beschouwen van de drie andere. Kies bijvoorbeeld u als afhankelijke variabele, dan volgt:

$\mathrm{d}u=-\frac{f{\text{'}}_x}{f{\text{'}}_u}\mathrm{d}x-\frac{f{\text{'}}_y}{f{\text{'}}_u}\mathrm{d}y-\frac{f{\text{'}}_z}{f{\text{'}}_u}\mathrm{d}z$

• Bij samengestelde functies kan de differentiaal op verschillende niveaus geschreven worden. Neem bijvoorbeeld:

$z=f(x,y)$, met $x=x(u,v),y=y(u,v)$

Dan is:

$\mathrm{d}z=z{\text{'}}_x\mathrm{d}x+z{\text{'}}_y\mathrm{d}y$

Maar omdat ook op hun beurt

$\mathrm{d}x=x{\text{'}}_u\mathrm{d}u+x{\text{'}}_v\mathrm{d}v$

en

$\mathrm{d}y=y{\text{'}}_u\mathrm{d}u+y{\text{'}}_v\mathrm{d}v$,

geldt eveneens:

$\mathrm{d}z=(z{\text{'}}_{x}x{\text{'}}_u+z{\text{'}}_{y}y{\text{'}}_u)\mathrm{d}u+(z{\text{'}}_{x}x{\text{'}}_v+z{\text{'}}_{y}y{\text{'}}_v)\mathrm{d}v$