Lijst van integralen van rationale functies

Hieronder staat een lijst van integralen van rationale functies. Integralen zijn het onderwerp van studie van de integraalrekening. Een rationale functie is een breuk waarvan zowel de teller als de noemer een polynoom is of gelijk is aan 1.

$\int (ax+b{)}^n\mathrm{d}x=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}\text{voor }n\ne -1$

$\int \frac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\ln |ax+b|$

$\int x(ax+b{)}^n\mathrm{d}x=\frac{a(n+1)x-b}{a^2(n+1)(n+2)}(ax+b{)}^{n+1}\text{voor }n\in ̸\{-1,-2\}$

$\int \frac{x}{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{x}{a}-\frac{b}{a^2}\ln |ax+b|$

$\int \frac{x}{(ax+b{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{b}{a^2(ax+b)}+\frac{1}{a^2}\ln |ax+b|$

$\int \frac{x}{(ax+b{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{a(1-n)x-b}{a^2(n-1)(n-2)(ax+b{)}^{n-1}}\text{voor }n\in ̸\{1,2\}$

$\int \frac{x^2}{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{b^2\ln |ax+b|}{a^3}+\frac{a{x}^2-2bx}{2a^2}$

$\int \frac{x^2}{(ax+b{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^3}(ax-2b\ln |ax+b|-\frac{b^2}{ax+b})$

$\int \frac{x^2}{(ax+b{)}^3}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^3}(\ln |ax+b|+\frac{2b}{ax+b}-\frac{b^2}{2(ax+b{)}^2})$

$\int \frac{x^2}{(ax+b{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^3}(-\frac{(ax+b{)}^{3-n}}{(n-3)}+\frac{2b(a+b{)}^{2-n}}{(n-2)}-\frac{b^2(ax+b{)}^{1-n}}{(n-1)})\text{voor }n\in ̸\{1,2,3\}$

$\int \frac{1}{x(ax+b)}\mathrm{d}x=-\frac{1}{b}\ln \left|\frac{ax+b}{x}\right|$

$\int \frac{1}{x^2(ax+b)}\mathrm{d}x=-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^2}\ln \left|\frac{ax+b}{x}\right|$

$\int \frac{1}{x^2(ax+b{)}^2}\mathrm{d}x=-a(\frac{1}{b^2(ax+b)}+\frac{1}{a{b}^{2}x}-\frac{2}{b^3}\ln \left|\frac{ax+b}{x}\right|)$

$\int \frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\ln \frac{a-x}{a+x}& \text{voor }|x|<|a|\\ -\frac{1}{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{x}{a}=\frac{1}{2a}\ln \frac{x-a}{x+a}& \text{voor }|x|>|a|\end{array}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^{2^n}+1}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\{\frac{1}{2^{n-1}}[\sin (\frac{(2k-1)\pi }{2^n})\arctan [(x-\cos (\frac{(2k-1)\pi }{2^n}))\csc (\frac{(2k-1)\pi }{2^n})]]-\frac{1}{2^n}[\cos (\frac{(2k-1)\pi }{2^n})\ln |x^2-2x\cos (\frac{(2k-1)\pi }{2^n})+1|]\}$

voor a ≠ 0

$\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}& \text{voor }4ac-b^2>0\\ -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}=\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|& \text{voor }4ac-b^2<0\\ -\frac{2}{2ax+b}& \text{voor }4ac-b^2=0\end{array}$

$\int \frac{x}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x$||$=\frac{1}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int \frac{\mathrm{d}x}{a{x}^2+bx+c}$

$\int \frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{m}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}& \text{voor }4ac-b^2>0\\ \frac{m}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c\Vert -\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}& \text{voor }4ac-b^2<0\\ \frac{m}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)}& \text{voor }4ac-b^2=0\end{array}$

$\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}\mathrm{d}x$

$\int \frac{x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\mathrm{d}x=-\frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}\mathrm{d}x$

$\int \frac{1}{x(a{x}^2+bx+c)}\mathrm{d}x=\frac{1}{2c}\ln \left|\frac{x^2}{a{x}^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x$

met een wortel in de noemer

$\int \frac{a{x}^n}{b\sqrt{c{x}^m}}\mathrm{d}x=\frac{a{x}^{n+1}}{b(-\frac{m}{2}+n+1)\sqrt{c{x}^m}}$

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