Stelling van Looman-Menchoff

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de stelling van Looman–Menchoff, dat een continue complex-waardige functie, die op een open verzameling van het complexe vlak is gedefinieerd, holomorf is, dan en slechts dan als deze functie voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen. Het is een veralgemening van de stelling van Goursat. In plaats van de continuïteit van $f$ aan te nemen, neemt men de Fréchet-differentieerbaarheid van de functie aan, indien bekeken als een functie van een deelverzameling van ${ℝ}^2$ naar ${ℝ}^2$.

Een complete formulering van de stelling luidt:

Laat $\mathrm{\Omega }$ een open verzameling in $ℂ$ zijn en $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ een continue functie. Neem aan dat de partiële afgeleides $\partial f/\partial x$ en $\partial f/\partial y$ overal in Ω bestaan. Dan is $f$ dan en slechts dan holomorf, als zij voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijking:

$\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Referenties

• Sjabloon:En Sjabloon:Aut, Über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen|journal, Göttinger Nach, 1923 pag 97–108.
• Sjabloon:Fr Sjabloon:Aut, Les conditions de monogénéité, Paris, 1936.