Antisymmetrische tensor

In wiskunde en theoretische natuurkunde, bedoelt men met antisymmetrische tensor een tensor waarvan het teken omdraait onder een permutatie van twee indices. Een tensor van orde r is dus antisymmetrisch indien

$T_{i_1{i}_2\dots i_j\dots i_k\dots i_r}=-T_{i_1{i}_2\dots i_k\dots i_j\dots i_r}$

voor elke j en k.

Antisymmetrisatie

Men kan van elke tensor een antisymmetrische versie construeren, als volgt:

$T_{[i_1{i}_2\dots i_r]}=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_r}\mathrm{\Pi }(\sigma )T_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.$

Hierbij loopt de som over alle mogelijk permutaties en is $\mathrm{\Pi }(\sigma )$ de pariteit van de permutatie. In woorden: neem alle mogelijke permutaties van de indices, en geef ze een minteken indien de betreffende parmutatie overeenstemt met een oneven aantal wissels (negatieve pariteit). Voor een antisymmetrische tensor is dus

$T_{[i_1{i}_2\dots i_r]}=T_{i_1{i}_2\dots i_r}$

Voorbeelden

Veel tensoren die optreden in de natuurkunde zijn voor te stellen als antisymmetrische tensoren/tensorvelden. Ook het veelgebruikte antisymmetrische symbool is een voorbeeld van een antisymmetrische tensor. Tot slot komen er ook in de algemene relativiteitstheorie veel (deels) antisymmetrische tensoren voor: bijvoorbeeld de elektromagnetische tensor en de Riemann-tensor.

Zie ook

• Levi-Civita-symbool
• Antisymmetrische matrix
• Symmetrische tensor
• Tensor
• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie