Continuïteitsvergelijking

Een continuïteitsvergelijking is een vergelijking in de natuurkunde die het behoud van een bepaalde grootheid uitdrukt. Typische behouden grootheden die voldoen aan een continuïteitsvergelijking, zijn massa en lading.

Vorm van de vergelijking

Een continuïteitsvergelijking is van de vorm

$\frac{\partial \rho (\overrightarrow{x},t)}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}(\overrightarrow{x},t)$,

vaak verkort weergegeven als

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}$

Daarin is $\rho$ de ruimtelijke dichtheid van de behouden grootheid die afhangt van de ruimtelijke coördinaten $\overrightarrow{x}$ en de tijd $t$. De vectorgrootheid $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}(\overrightarrow{x},t)$ is een stroomgrootheid.

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat (onder natuurlijke voorwaarden) de bovenstaande vergelijking impliceert dat de grootheid

$Q(t)=\underset{{ℝ}^3}{\int }\rho (\overrightarrow{x},t)\mathrm{d}\overrightarrow{x}$

niet afhangt van de tijd, dus dat $Q(t)$ eigenlijk een constante $Q$ is. Anders uitgedrukt:

$\frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}=0$

De continuïteitsvergelijking is dus inderdaad een behoudsvergelijking.

Voorbeelden

Behoud van massa

In bijna alle fysische systemen is de totale massa behouden. Dit wordt uitgedrukt als volgt:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})=0$

Hierin is $\rho$ de massadichtheid en $\overrightarrow{v}$ de lokale snelheid van het medium.

Bovenstaande vergelijking impliceert dat de totale massa

$M=\int \rho \mathrm{d}\overrightarrow{x}$

behouden wordt (niet verandert in de loop van de tijd).

Behoud van lading

Een andere grootheid die behouden wordt, is lading. Daarvoor geldt eenzelfde vergelijking:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})=0$

Hierin heeft $\rho$ nu de betekenis van ladingsdichtheid.

De bovenstaande vergelijking drukt dan ook uit dat de totale elektrische lading behouden is:

$Q=\int \rho \mathrm{d}\overrightarrow{x}$

hangt immers niet af van de tijd.

Relativiteitstheorie

In de relativiteitstheorie vormen de objecten $\rho$ en $\overrightarrow{j}$ één enkel object, een viervector. Deze wordt typisch genoteerd als $j^{\mu }$, waarbij de index $\mu$ loopt van 0 tot 3 . De component met index 0 is $\rho$. Ook de afgeleiden $\partial /\partial t$ en $\partial /\partial x_i$ vormen in de relativiteitstheorie één object, ${\partial }_{\mu }$. De continuïteitsvergelijking neemt dan de volgende bijzonder eenvoudige en elegante vorm aan:

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

In deze vergelijking is de Einstein-sommatieconventie verondersteld.

Zie ook

• Continuïteitswet
• Navier-Stokes-vergelijkingen
• Ladingsdichtheid
• Wetten van Fick
• Viervector