Lemma van Fatou

Het lemma van Fatou, genoemd naar Pierre Fatou, ook lemma van Fatou-Lebesgue genoemd, is een belangrijke hulpstelling in de wiskunde die laat zien dat voor een rij niet-negatieve meetbare functies de Lebesgue-integraal van de liminf van de rij begrensd wordt door de liminf van de Lebesgue-integralen van de functies.

Lemma

Laat voor iedere natuurlijke $n$

$f_n:S\to [0,\mathrm{\infty }]$

een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte $(S,\mathrm{\Sigma },\mu ).$ Dan is de functie

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n(x)$

meetbaar en er geldt:

$\underset{S}{\int }f\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu ,$

Bewijs

Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem

$g_k(x)=\underset{n\ge k}{\inf }{f}_n(x),$

dan is de rij $(g_n)$ stijgend en puntsgewijs convergent naar $f.$

Als $k\le n$, geldt

$g_k\le f_n,$ dus ook $\underset{S}{\int }{g}_k\mathrm{d}\mu \le \underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu ,$

zodat

$\underset{S}{\int }{g}_k\mathrm{d}\mu \le \underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu .$

Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{g}_k\mathrm{d}\mu \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu .$

Voorbeeld

Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.

Neem $S=[0,1],$ voorzien van de borel-algebra en de Lebesgue-maat en zij

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n& \text{voor }0<x<\frac{1}{n},\\ \\ 0& \text{elders.}\end{array}$

Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.

Zie ook

• Monotone-convergentiestelling
• Stelling van de gedomineerde convergentie