Gelijkheid (verzamelingenleer)

Twee verzamelingen zijn aan elkaar gelijk als ze dezelfde elementen hebben. Dit houdt in dat de verzameling A gelijk is aan de verzameling B, genoteerd als A=B, als elk element uit A ook element is van B en omgekeerd elk element uit B ook element is van A.

Definitie

De verzamelingen A en B zijn aan elkaar gelijk, A = B, als

$\mathrm{\forall }x:(x\in A⟺x\in B)$

Gebaseerd op de bovenstaande definitie en de definitie van een deelverzameling kan men bewijzen dat twee verzamelingen A en B aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als als A een deelverzameling is van B en omgekeerd ook geldt dat B een deelverzameling is van A:

$A=B⟺((A\subset B)\wedge (B\subset A))$.

Voorbeelden

A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3 } en C = { 1, 2 } zijn verzamelingen. Er geldt:

• $A=B,A=A,B=B$
• $A\ne C,B\ne C$