Maclaurin-reeks

In de analyse is een maclaurin-reeks een speciaal geval van de taylorreeks waarvoor als ontwikkelingspunt het punt 0 is gekozen. De reeks is genoemd naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin. Als de functie $f$ willekeurig vaak differentieerbaar is in een complexe omgeving van het punt 0, wordt de maclaurin-reeks van $f$ in een complexe omgeving van 0 gegeven door:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2}{f}^{″}(0)x^2+\dots$

Door een geschikte substitutie kan men elke taylorreeks als een maclaurin-reeks interpreteren

$f(x_0+h)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{h}^n=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)h^2+\dots$

is de maclaurin-reeks van de functie

$h\mapsto f(x_0+h)$

Voor functies die in het punt 0 niet zijn gedefinieerd of niet differentieerbaar zijn, zoals $1/x$ en $\log (x)$ laat zich geen maclaurin-reeks ontwikkelen.

Voorbeelden

Voor de exponentiële functie $f(x)=e^x$ is $f(0)=1,f^{\prime }(0)=1,f^{″}(0)=1,\dots$ en dus is de maclaurin-reeks ervan de reeks

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Voor een negatieve $x$ is dat:

$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$

Voor de inverse functies:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots$

$\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\dots$

Voor de sinus $f(x)=\sin (x)$ is $f^{\prime }(x)=\cos (x),f^{″}(x)=-\sin (x),f^{‴}(x)=-\cos (x),f^{⁗}(x)=\sin (x),\dots$ en aangezien $\sin (0)=0$ en $\cos (0)=1$, is de maclaurin-reeks van de sinus:

$\sin (x)=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$

Voor cos is dat:

$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$

Voor de hyperbolische functies:

$\sinh (x)=\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots$

$\cosh (x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots$