Krommingsmiddelpunt

Een krommingsmiddelpunt is een begrip uit de differentiaalmeetkunde. Het krommingsmiddelpunt van een kromme in een gegeven punt van die kromme, is het middelpunt van de cirkel die, in de buurt van het gegeven punt, de kromme het best benadert (osculerende cirkel). Dit betekent concreet dat de cirkel en de kromme in het gegeven punt contact van orde twee hebben: ze moeten het punt gemeen hebben, evenals de eerste en tweede afgeleide. Respectievelijk betekent dit dat ze door hetzelfde (gegeven) punt gaan, in dat punt dezelfde raaklijn hebben, en daar ook dezelfde tweede afgeleide hebben.

Definitie

Zij $k$ een differentieerbare kromme in de $n$-dimensionale Euclidische ruimte, geparametriseerd door haar booglengte $s$:

$k:(a,b)\to {ℝ}^n:s\mapsto k(s)$

Parametrisering door booglengte wil zeggen dat de lengte van de vectorafgeleide $v=k^{\prime }$ (de snelheidsvector) steeds 1 bedraagt.

Omdat $v$ een eenheidsvector is, staat zijn afgeleide $a=v^{\prime }$ (de versnelling) loodrecht op $v$ zelf.

Als de versnelling voor een bepaalde waarde van de parameter $s$ gelijk is aan de nulvector, dan is het krommingsmiddelpunt op die plaats van de kromme niet gedefinieerd. Men zegt soms dat de kromtestraal oneindig bedraagt.

In elk ander geval ligt het krommingsmiddelpunt $p$, gezien vanaf positie $k$, in de richting van de versnelling $a$ op een afstand die het omgekeerde is van de grootte van $a$:

$p(s)=k(s)+\frac{a(s)}{|a(s){|}^2}=k(s)+\frac{k^{″}(s)}{|k^{″}(s){|}^2}$

Berekening

De volgende formule is geldig voor een willekeurige differentieerbare kromme in het vlak waarvan de snelheidsvector niet nul wordt (een zogenaamde reguliere vlakke kromme). Noteer $x(s)$ en $y(s)$ voor de coördinaten van de kromme ten opzichte van een orthonormale basis van het vlak. Noteer $p(s)$ en $q(s)$ voor de coördinaten van het krommingsmiddelpunt ten opzichte van diezelfde basis. Dan geldt

$p(s)=x(s)-y^{\prime }(s)\frac{x^{\prime }(s{)}^2+y^{\prime }(s{)}^2}{x^{\prime }(s)y^{″}(s)-y^{\prime }(s)x^{″}(s)}$

$q(s)=y(s)-x^{\prime }(s)\frac{x^{\prime }(s{)}^2+y^{\prime }(s{)}^2}{x^{\prime }(s)y^{″}(s)-y^{\prime }(s)x^{″}(s)}$

De afstand tussen het punt $(x(s),y(s))$ op de kromme en het krommingsmiddelpunt $(p(s),q(s))$ bedraagt

$\frac{{(x^{\prime }(s{)}^2+y^{\prime }(s{)}^2)}^{3/2}}{|x^{\prime }(s)y^{″}(s)-y^{\prime }(s)x^{″}(s)|}$

en is gelijk aan de kromtestraal. De uitdrukking in de noemer wordt nul als en slechts als de versnelling evenwijdig loopt met de snelheid, dit is het geval "kromtestraal oneindig".

De bovenstaande formules voor het krommingsmiddelpunt kunnen vereenvoudigd worden tot de analoge formules voor expliciete functies van één veranderlijke $y=f(t)$ en impliciete functies van één veranderlijke $f(x,y)=0$:

$p=x-y^{\prime }\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}$

$q=y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}$

waarin $(x,y)$ het punt op de kromme is, waar het krommingsmiddelpunt wordt berekend. Deze formules volgen direct uit het feit dat een expliciete functie $y=f(x)$ kan beschouwd worden als een functie is parametervorm $x=x(s),y=y(s)$, waarop de algemene formules kunnen worden toegepast, waarbij dan $x^{\prime }=1$ en $x^{″}=0$.

Evolute

De meetkundige plaats (verzameling) van alle krommingsmiddelpunten van een gegeven kromme is de evolute van die kromme.