Chi-kwadraattoets

Een chi-kwadraattoets is een statistische toets om na te gaan of twee of meer verdelingen of populaties van elkaar verschillen. Het kan daarbij gaan om een bekende verdeling en een onbekende waaraan waarnemingen zijn gedaan of om twee onbekende verdelingen waaraan waarnemingen zijn gedaan. De toets gaat na of waargenomen aantallen systematisch afwijken van verwachte of gemiddelde aantallen en berekent daartoe het totaal van de gewogen kwadratische afwijkingen tussen deze aantallen. Een chi-kwadraattoets wordt veel gebruikt om kruistabellen te analyseren. Omdat er geen aannamen over gemiddelden of over de populatie worden gedaan is dit een parametervrije toets. Het meetniveau is ook niet van belang omdat er alleen naar aantallen wordt gekeken. De chi-kwadraattoets vindt toepassing als:

• aanpassingstoets (hierbij wordt getoetst of de gevonden gegevens bij een veronderstelde verdeling passen)
• onafhankelijkheidstoets (hierbij wordt getoetst of de simultane verdeling, waar de gegevens uit komen, uit twee onafhankelijke verdelingen bestaat)
• homogeniteitstoets (hierrbij wordt getoetst of verschillende steekproeven uit dezelfde verdeling komen)

Chi-kwadraattoetsingsgrootheid

Een chi-kwadraattoetsingsgrootheid heeft de volgende vorm:

${\chi }^2=\sum \frac{(f-e{)}^2}{e}$

waarin $e$ de verwachte of gemiddelde en $f$ de waargenomen frequentie is en over alle mogelijkheden wordt gesommeerd.

Aanpassingstoets

Met de aanpassingstoets wordt nagegaan of een onbekende discrete verdeling op de waarden $x_1,\dots ,x_k$ al dan niet verschilt van een bekende verdeling. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen $p_k=p(x_k)$ op de waarden $x_k$.

Voor de toets wordt een aselecte steekproef $X_1,\dots ,X_n$ van omvang $n$ genomen uit de onbekende verdeling. De chi-kwadraat-aanpassingstoets toetst de nulhypothese dat de steekproef uit een bekende verdeling afkomstig is:

$H_0:p_k=p_{0k}$ voor alle $k$

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\chi }^2=\sum _k\frac{(N_k-n{p}_{0k}{)}^2}{n{p}_{0k}}$

waarin $N_k$ het aantal keren is dat in de steekproef de waarde $x_k$ voorkomt. $p_{0k}$ is de kans op het voorkomen van $x_k$ volgens de nulhypothese en dus is $n{p}_{0k}$ het aantal keer dat $x_k$ zou voorkomen op basis van de nulhypothese.

Voor voldoend grote $n$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met $n-1$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Merk op dat deze test eigenlijk de relatieve euclidische afstand meet tussen de twee functies.

Voorbeeld

Iemand krijgt een dobbelsteen in handen die er niet erg symmetrisch uitziet. Zou de dobbelsteen wel zuiver zijn? Hij gooit er 60 keer mee en verwacht elk van de ogenaantallen ongeveer 10 keer te gooien. Met $N_i$ geven we het aantal keren aan dat het ogenaantal $i$ boven kwam. Hij vindt als uitkomst voor de ogenaantallen 1 tot en met 6 de waarden:

$i$	1	2	3	4	5	6	$n$
$n_i$	13	9	8	11	5	14	60

Hij toetst de nulhypothese:

$H_0$: de dobbelsteen is zuiver

met de chi-kwadraattoets en gaat zo na of de gevonden aantallen passen bij de verdeling van een zuivere dobbelsteen. De toetsingsgrootheid is:

${\mathrm{X}}^2=\sum _{i=1}^6\frac{(N_i-e_i{)}^2}{e_i}$

deze meet de 'afstand' tussen de gevonden frequenties $N_i$ en de verwachte $e_i$. Onder de nulhypothese heeft de toetsingsgrootheid bij benadering een chi-kwadraatverdeling met vijf vrijheidsgraden. De waarde die de toetsingsgrootheid in de steekproef aanneemt is:

${\chi }^2=\sum _{i=1}^6\frac{(n_i-10{)}^2}{10}=\frac{3^2+1^2+2^2+1^2+5^2+4^2}{10}=\frac{9+1+4+1+25+16}{10}=5,6$

De nulhypothese wordt verworpen als deze "afstand" te groot is. De p-waarde, de overschrijdingskans, van de gevonden uitkomst is:

p-waarde = $P({\mathrm{X}}^2\ge {\chi }^2;H_0)=P({\chi }^2(5)\ge 5,6)\approx 34,7\mathrm{\%}$

Er is dus absoluut geen reden om, gezien de uitkomst van de 60 worpen, aan de zuiverheid van de dobbelsteen te twijfelen, want er is 34,7% kans om met een zuivere dobbelsteen een resultaat te krijgen met een minstens zo grote 'afstand'.

Onafhankelijkheidstoets

Met de onafhankelijkheidstoets wordt nagegaan of waarnemingen uit een onbekende simultane discrete verdeling op de waarden $(x_1,y_1),\dots ,(x_k,y_r)$ al dan niet onderling onafhankelijk zijn. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen $p_{i,j}=p(x_i,y_j)$ op de waarden $(x_i,y_j)$.

Voor de toets wordt een aselecte steekproef $(X_1,Y_1)\dots ,(X_n,Y_n)$ van omvang $n$ genomen uit de onbekende simultane discrete verdeling van de stochastische variabelen $X$ en $Y$. De chi-kwadraat-onafhankelijkheidstoets toetst de nulhypothese dat $X$ en $Y$ onderling onafhankelijk zijn:

$H_0:p_{i,j}=p_i\cdot p_j$ voor alle $i$ en $j$,

waarin

$p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{i,j}\text{ en }{p}_{\cdot j}=\sum _i{p}_{i,j}$,

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\chi }^2=\sum _{i,j}\frac{(N_{i,j}-N_{i,j}^{*}{)}^2}{N_{i,j}^{*}}$

Daarin is $N_{i,j}$ het aantal keren dat in de steekproef het paar $(x_i,y_j)$ voorkomt, zijn

$N_{i\cdot }=\sum _j{N}_{i,j}\text{ en }{N}_{\cdot j}=\sum _i{N}_{i,j}$

de verschillende randtotalen en is:

$N_{i,j}^{*}=\frac{N_{i\cdot }{N}_{\cdot j}}{n}$

Voor voldoend grote $N_{i,j}$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypohese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met $(k-1)(r-1)$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Voorbeeld

Iemand gooit uit de hand 100 keer met twee dobbelstenen en wil nagaan of de worpen mogelijk afhankelijk zijn. In de onderstaande tabel staan de uitkomsten, geaccumuleerd tot het aantal keren $n_{ij}$ dat de ogencombinatie $(i,j)$ gegooid werd, met de randtotalen:

$n_{ij}$	1	2	3	4	5	6	$n_{i\cdot }$
1	2	4	3	6	1	3	19
2	4	6	2	4	3	3	22
3	3	2	1	3	3	4	16
4	2	3	0	2	2	2	11
5	5	1	4	3	2	5	20
6	0	6	0	1	2	3	12
$n_{\cdot j}$	16	22	10	19	13	20	100

De volgende tabel toont de waarden van $n_{ij}^{*}=\frac{n_{i\cdot }{n}_{\cdot j}}{n}$:

$n_{ij}^{*}$	1	2	3	4	5	6	$n_{i\cdot }$
1	3,04	4,18	1,90	3,61	2,47	3,80	19
2	3,52	4,84	2,20	4,18	2,86	4,40	22
3	2,56	3,52	1,60	3,04	2,08	3,20	16
4	1,76	2,42	1,10	2,09	1,43	2,20	11
5	3,20	4,40	2,00	3,80	2,60	4,00	20
6	1,92	2,64	1,20	2,28	1,56	2,40	12
$n_{\cdot j}$	16	22	10	19	13	20	100

Vervolgens is$\frac{(n_{ij}-n_{ij}^{*}{)}^2}{n_{ij}^{*}}$ berekend voor alle $i$ en $j$:

$(i,j)$	1	2	3	4	5	6
1	0,36	0,01	0,64	1,58	0,87	0,17	3,63
2	0,07	0,28	0,02	0,01	0,01	0,45	0,82
3	0,08	0,66	0,23	0,00	0,41	0,20	1,56
4	0,03	0,14	1,10	0,00	0,23	0,02	1,52
5	1,01	2,63	2,00	0,17	0,14	0,25	6,20
6	1,92	4,28	1,20	0,72	0,12	0,15	8,39
	3,47	7,98	5,18	2,48	1,78	1,23	22,12

met als totaal: ${\chi }^2=22,12$.

Onder de nulhypothese van onafhankelijkheid is de toetsingsgrootheid bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (6-1)(6-1) = 25 vrijheidsgraden. De overschrijdingskans van de gevonden waarde 22,12 is iets groter dan 0,5, zodat er bij een onbetrouwbaarheidsdrempel van 5% geen reden is om aan de onafhankelijkheid te twijfelen.

Opgemerkt moet worden dat voor een goede benadering de waargenomen aantallen $n_{ij}$ niet te klein mogen zijn. In de literatuur worden grenzen van 1 tot 5 genoemd. In dit voorbeeld is aan deze eis niet voldaan, maar het toont wel het principe van de toets.

Homogeniteitstoets

Met de homogeniteitstoets wordt nagegaan of een aantal discrete verdelingen op dezelfde waarden $x_1,\dots ,x_k$ al dan niet van elkaar verschillen. De $r$ discrete verdelingen worden voor $i=1,\dots ,r$ bepaald door de onbekende kansen $p_{i,j}=p_i(x_j)$ op de waarden $x_j$.

Voor de toets worden voor $i=1,\dots ,r$ onderling onafhankelijke aselecte steekproeven $X_{i,1},\dots ,X_{i,n_i}$ van omvang $n_i$ genomen. De chi-kwadraat-homogeniteitstoets toetst de nulhypothese dat de steekproeven uit dezelfde verdeling afkomstig zijn:

$H_0:p_{i,j}=p_j$ voor alle $i$ en $j$,

op basis van de toetsingsgrootheid:

${\chi }^2=\sum _{i,j}\frac{(N_{i,j}-N_{i,j}^{*}{)}^2}{N_{i,j}^{*}}$

Daarin is $N_{i,j}$ het aantal keren dat in de $i$-de steekproef de waarde $x_j$ voorkomt, zijn

$N_{\cdot j}=\sum _i{N}_{i,j}$

randtotalen en is:

$N_{i,j}^{*}=\frac{n_i{N}_{\cdot j}}{\sum _i{n}_i}$

Voor voldoend grote $N_{i,j}$ is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met $(k-1)(r-1)$ vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Voorbeeld

Iemand heeft drie valse dobbelstenen gemaakt door in de zijde met 1 oog een gat te boren en dat te vullen met lood. Om na te gaan of de dobbelstenen in dezelfde mate vals zijn, gooit hij met elke dobbelsteen een groot aantal keren. In de onderstaande tabel staan voor elk van de drie dobbelstenen de uitkomsten, geaccumuleerd tot het aantal keren $n_{ij}$ dat met dobbelsteen $i$ het ogenaantal $j$ gegooid werd, met de randtotalen:

$n_{ij}$	1	2	3	4	5	6	$n_i$
1	5	8	4	6	4	23	50
2	13	7	14	15	4	47	100
3	14	6	11	10	11	98	150
$n_{\cdot j}$	32	21	29	31	19	168	300

De volgende tabel toont de waarden van $n_{ij}^{*}=\frac{n_i{n}_{\cdot j}}{\sum n_i}$:

$n_{ij}^{*}$	1	2	3	4	5	6	$n_i$
1	5,33	3,50	4,83	5,17	3,17	28,00	50
2	10,67	7,00	9,67	10,33	6,33	56,00	100
3	16,00	10,50	14,50	15,50	9,50	84,00	150
$n_{\cdot j}$	32	21	29	31	19	168	300

Vervolgens is voor elke $i$ en $j$ de term $\frac{(n_{ij}-n_{ij}^{*}{)}^2}{n_{ij}^{*}}$ berekend:

$n_{ij}$	1	2	3	4	5	6	sub
1	0,02	5,79	0,14	0,13	0,22	0,89	7,20
2	0,51	0,00	1,94	2,11	0,86	1,45	6,87
3	0,25	1,93	0,84	1,95	0,24	2,33	7,55
sub	0,78	7,71	2,93	4,19	1,32	4,67	21,61

met als totaal: ${\chi }^2=21,61$.

Onder de nulhypothese van homogeniteit is de toetsingsgrootheid bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (3-1)(6-1) = 10 vrijheidsgraden. De overschrijdingskans van de gevonden waarde 21,61 is kleiner dan 0,025, zodat er reden is om te twijfelen aan de homogeniteit.