Möbiusfunctie

De klassieke möbiusfunctie $\mu$ is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. De functie is genoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868), door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831.

Definitie

De möbiusfunctie $\mu (n)$ is gedefinieerd voor alle strikt positieve natuurlijke getallen $n$ en kan waardes aannemen in {−1, 0, 1} afhankelijk van de factorisatie van $n$ in priemfactoren. De functie is als volgt gedefinieerd:

• $\mu (n)=1$ als $n$ een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
• $\mu (n)=-1$ als $n$ een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
• $\mu (n)=0$ als $n$ niet kwadraatvrij is.

Dit impliceert dat

• $\mu (1)=1$ (0 priemfactoren, 1 telt zelf niet mee)
• $\mu (2)=-1$ (1 priemfactor: 2)
• $\mu (3)=-1$ (1 priemfactor: 3)
• $\mu (4)=0$ (kwadraat)
• $\mu (5)=-1$ (1 priemfactor: 5)
• $\mu (6)=1$ (2 priemfactoren: 2 en 3)
• $\mu (7)=-1$ (1 priemfactor: 7)
• $\mu (8)=0$ (2x kwadraat, 2x4)
• $\mu (9)=0$ (kwadraat)

De eerste 50 functiewaarden staan in deze grafiek:

Mobiusfunctie voor $n=1,\dots ,50$