Exponentiële integraal

${\mathrm{E}}_1(x)$ (boven)
$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)$ (onder)

De exponentiële integraal is een functie, die gedefinieerd is als de integraal:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=-\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t.$

Van een dergelijke integraal bestaat geen primitieve functie. Waarden van de functie $\mathrm{E}\mathrm{i}(x)$ zijn wel te vinden met reeksontwikkelingen, of in tabellen. Een goede benadering kan gevonden worden door:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)\sim e^{-x}\cdot \ln (1+1/x)\cdot R(x),$

waarin $R(x)$ een rationale functie is met dezelfde graad in teller en noemer.

Reeksontwikkeling

De exponentiële integraal heeft $x\ne 0$ de reeksontwikkeling

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!\cdot k},$

waarin $\gamma$ de constante van Euler-Mascheroni is.

Verband met de logaritmische integraal

De functie $\mathrm{E}\mathrm{i}(x)$ is nauw verwant met de logaritmische integraal. Voor $x>0$ is:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x).$