Macht (meetkunde)

fig. 1. Er geldt: $P{T}^2=PM\cdot PN=PA\cdot PB$

De macht van een punt $P$ ten opzichte van een cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ is gedefinieerd als

$p_P=P{O}^2-r^2$

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door Jakob Steiner als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt.

Punten in het inwendige van een cirkel hebben een negatieve macht, in het uitwendige een positieve macht, en voor punten op de cirkel is de macht gelijk aan nul. De kleinste waarde van de macht van een punt is de macht van het middelpunt:

$p_O=-r^2$

De macht van een uitwendig punt $P$ is gelijk aan het kwadraat van de lengte van het raaklijnstuk $PT$ vanuit $P$ aan de cirkel (volgens de stelling van Pythagoras); zie figuur 1:

$P{T}^2=P{O}^2-r^2=p_P$

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel $C$ is een cirkel die concentrisch is met $C$.

Eigenschap

fig. 2. $PM\cdot PN=PA\cdot PB$

Voor een lijn door het punt $P$ die een cirkel snijdt in de punten $M$ en $N$, geldt:

$p_P=PM\cdot PN$

waarbij $PM$ en $PN$ tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn (dit is het geval als $P$ binnen de cirkel ligt).

Bewijs

Veronderstel dat $P$ buiten de cirkel ligt.

Voor het bijzondere geval dat de lijn door $O$ gaat, geldt:

$PA\cdot PB=(PO-r)(PO+r)=P{O}^2-r^2=p_P$

En dit komt overeen met het gestelde.

Voor het algemene geval is de lijn $PO$ een hulplijn bij een (willekeurige) lijn door $P$ die de cirkel snijdt in de punten $M,N$. Dan is, en zie figuur 2:

$\mathrm{\angle }ABM=\mathrm{\angle }MNA$

omdat dit omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken $PNA$ en $PBM$ gelijkvormig, zodat

$\frac{PA}{PN}=\frac{PM}{PB}$

en bijgevolg

$PA\cdot PB=PM\cdot PN=p_P$

Het geval dat $P$ in het inwendige van de cirkel ligt, kan op analoge manier worden bewezen.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijking

De macht van het punt $A=(x_0,y_0)$ ten opzichte van een cirkel met vergelijking

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

is

$p_A=(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2-r^2$

Zie ook

• Machtlijn
• Antimacht
• Inversie (meetkunde)

Externe link

• Macht van een punt / Machtlijn