Dynkinsysteem

Een Dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een collectie deelverzamelingen vergelijkbaar met een σ-algebra. Dynkinsystemen zijn genoemd naar de Russische wiskundige Eugene Borisovich Dynkin. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, voornamelijk in de (Lebesgue-)integraalrekening en de kansrekening, van de stelling van Dynkin.

Definitie

Een collectie deelverzamelingen $𝒟$ van een niet-lege verzameling Ω heet een Dynkinsysteem als de volgende eigenschappen van toepassing zijn op het 'systeem' $𝒟$:

• de verzameling Ω behoort zelf tot het systeem

$\mathrm{\Omega }\in 𝒟$.

• het systeem is gesloten onder relatieve complementvorming

$A,B\in 𝒟\text{ en }A\subseteq B⟹B\setminus A\in 𝒟$

• het systeem is gesloten onder vereniging van stijgende rijen

$\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset 𝒟\text{ en }{A}_n\subseteq A_{n+1}⟹\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒟$

Als $𝒥$ een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van $\mathrm{\Omega }$ is, dan is de doorsnede van alle Dynkinsystemen die $𝒥$ omvatten, zelf ook een Dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het Dynkinsysteem dat gegenereerd wordt door $𝒥$. Het is tevens het kleinste Dynkinsysteem dat $𝒥$ omvat.

De machtsverzameling van Ω is altijd een Dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één Dynkinsysteem dat $𝒥$ omvat.

Een Dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin

Als $𝒞$ een collectie deelverzamelingen is van $\mathrm{\Omega }$ die gesloten is onder eindige doorsnede, en $𝒟$ een Dynkinsysteem dat $𝒞$ omvat, dan omvat $𝒟$ ook $\sigma (𝒞)$, de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van $𝒞$.