Heaviside-functie

Schematische voorstelling Heaviside-functie

De heaviside-functie of heaviside-stapfunctie $H$ is een stapfunctie, opgesteld door de Engelse ingenieur Oliver Heaviside, die gedefinieerd wordt als:

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{voor }x<0\\ \\ 1& \text{voor }x\ge 0\end{array}$

In plaats van $H(x)$ schrijft men ook wel $1(x),\mathrm{\Theta }(x)$ of soms $\mathrm{\Gamma }(x)$ (waar dit geen verwarring oplevert met de gammafunctie).

In de systeemtheorie is de notatie $u(t)$ gebruikelijk.

De heaviside-functie kan beschouwd worden als de integraal van de dirac-impuls $\delta (t)$:

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t$

Deze functie wordt bij integraaltransformaties en regeltechniek gebruikt.

Gebruik bij stuksgewijs gedefinieerde functies

Een verschil van twee heaviside-functies kan worden gebruikt om een bloksignaal te definiëren (Puls) :

$H(x)-H(x-a)=\{\begin{array}{cc}1& \text{voor }0\le x<a\\ \\ 0& \text{voor }x<0enx\ge a\end{array}$

Dit laat toe stuksgewijs gedefinieerde functies in één regel te schrijven, waardoor ze in een geschikte vorm staan om te worden omgezet door de laplacetransformatie. Neem bijvoorbeeld het signaal

$f(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{voor }t<0\\ \\ \frac{1}{2}t& \text{voor }0\le t<4\text{en}\\ \\ 2& \text{voor }t\ge 4\end{array}$

Dit kan worden geschreven als :

$f(t)=\frac{1}{2}t[H(t)-H(t-4)]+2H(t-4)$

Met behulp van

$ℒ\{H(t-a)\}(s)=\frac{1}{s}{e}^{-as}$

en

$ℒ\{tf(t)\}(s)=-F^{\prime }(s)$

volgt de laplace-getransformeerde:

$F(s)=\frac{1-e^{-4s}}{2s^2}$

Alternatief

Uit symmetrie-overwegingen wordt voor de waarde voor $x=0$ ook wel ½ gekozen (of zelfs onbepaald gelaten, waar deze niet belangrijk is):

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{voor }x<0\\ \frac{1}{2}& \text{voor }x=0\\ 1& \text{voor }x>0\end{array}$