Formule van Stirling

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote $n$ als benadering geldt voor $n!$. Om precies te zijn:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:

$\ln (n!)=n\ln (n)-n+\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+(\frac{1}{n}-\frac{1}{30n^3}+\frac{1}{105n^5}-\frac{1}{140n^7})/12+\dots$

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

$\ln (n!)\sim n\ln (n)-n$,

wat asymptotisch op hetzelfde neerkomt.

De formule werd ontdekt door De Moivre (1754†) in een iets andere vorm, namelijk:

$n!\sim c\sqrt{n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

James Stirling (1770†), naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante $c$ gelijk is aan $\sqrt{2\pi }$.

Verloop van faculteit en benadering

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van $n$ de relevante grootheden opgesomd.

n	ln(n!)	n ln(n) − n	fout
10	15,1	13,0	13,9%
30	74,7	72,0	3,6%
50	148,5	145,6	1,9%
100	363,7	360,5	0,9%
1000	5912,1	5907,8	0,07%
10000	82108,9	82103,4	0,007%

$\ln (n)+\ln ((n-1)!)\gtrsim n(\ln (n)-1)$

Toepassingen

De formule is belangrijk voor veel toepassingen in de statistische fysica, de thermo-dynamica en in de scheikunde (thermochemie).