Brontekst bekijken van Zuiverheid (statistiek)

'''Zuiverheid''' is in de [[statistiek]] een eigenschap die van toepassing kan zijn op [[schatten|schatters]] en op [[statistische toets|toetsen]].

==Zuivere schatter==
Een schatter berekent uit een [[steekproef]] een waarde die een indruk geeft van een onbekende eigenschap (parameter) van de [[populatie (statistiek)|populatie]]. Een schatter is praktisch nooit gelijk aan de werkelijke onbekende eigenschap, maar zit er iets naast. Als de schatter echter gemiddeld (over alle mogelijke steekproeven) genomen precies de juiste waarde geeft, noemt men de schatter ''zuiver''. Formeel: 

Laat <math>X</math> een [[toevalsvariabele]] zijn waarvan de [[verdelingsfunctie]] afhankelijk is van een onbekende  [[parameter]] <math>\theta \in \Theta</math>. Een schatter <math>\hat \theta</math> heet ''zuiver'' voor <math>\theta</math> als voor alle <math>\theta \in \Theta</math> geldt:
:<math>E_{\theta} (\hat \theta ) = \theta.</math>

===Onzuiverheid===
Als een schatter niet zuiver is, spreekt men van een ''onzuivere'' schatter. Een schatter is ''onzuiver'' als er een parameterwaarde <math>\theta</math> bestaat die verschilt van de [[Verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]] van de schatter bij die waarde. Voor deze parameterwaarde geeft de schatter dus gemiddeld gesproken een verschil met de waarde van de te schatten parameter. Men noemt deze afwijking de '''onzuiverheid''', of met de Engelse term '''bias''', van de schatter. In formule:

:<math>\mathrm{onzuiverheid\  van\ } \hat \theta=E_{\theta} (\hat \theta ) - \theta.</math>

===Voorbeeld===
In een binomiaal experiment met onbekende succeskans ''p'' is ''X'' het aantal successen van de ''n'' keer. De gebruikelijke schatter <math>X/n</math> is zuiver, want:
:<math>E_p \left(\frac Xn \right) = p.</math>

Voor kleine waarden van de steekproefomvang ''n'' zal deze schatter nog al eens als schatting van ''p'' de waarde 0 of 1 geven. Men gebruikt om dat te vermijden wel de schatter (X+1)/(n+2), die als minimale schatting de waarde 1/(n+2) en als maximale waarde (n+1)/(n+2) geeft. Deze schatter is niet zuiver en de onzuiverheid is:

:<math>E_p \left(\frac {X+1}{n+2} \right) - p=\left(\frac {np+1}{n+2} \right) -p =\frac{1-2p}{n+2}.</math>

Omdat bij toenemende ''n'' de onzuiverheid voor alle ''p'' naar 0 gaat, zegt men dat deze schatter ''asymptotisch zuiver'' is.

==Zuivere toets==
Met een [[statistische toets]] hoopt men de gestelde [[nulhypothese]] te verwerpen ten gunste van de [[alternatieve hypothese]]. Als het resultaat van de toets is dat de nulhypothese verworpen wordt, hoeft dit nog geen juiste beslissing te zijn: de toets kan ernaast zitten en een  [[fout van de eerste soort]] maken, dus de nulhypothese ten onrechte verwerpen. Van een goede toets mag verwacht worden dat er eerder een onjuiste nulhypothese verworpen zal worden dan een juiste. Een toets met deze eigenschap heet ''zuiver''. Formeel:

Laat <math>X</math> een [[toevalsvariabele]] zijn waarvan de [[verdelingsfunctie]] afhankelijk is van een onbekende  [[parameter]] &theta; &isin; &Theta;. Een toets voor de nulhypothese &theta; &isin; &Theta;<sub>0</sub> tegen de alternatieve hypothese &theta; &isin; &Theta;<sub>1</sub> heet ''zuiver'' als voor alle &theta;<sub>0</sub>  &isin; &Theta;<sub>0</sub> en &theta;<sub>1</sub>  &isin; &Theta;<sub></sub> geldt:
:<math>P_{\theta_0}(\text{verwerpen van}\ H_0) \le P_{\theta_1}(\text{verwerpen van}\ H_0).</math>


Deze eigenschap kan ook geformuleerd worden in termen van de [[onbetrouwbaarheid (statistiek)|onbetrouwbaarheid]] α van de toets. Daarvoor geldt:
:<math>P_{\theta_0}(\text{verwerpen van}\ H_0) \le \alpha</math>

De toets is zuiver als tevens geldt:
:<math>P_{\theta_1}(\text{verwerpen van}\ H_0) \ge \alpha.</math>

==Zie ook==
*[[Systematische fout]]

==Literatuur==
*M. G. Kendall. "The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
*M. G. Kendall and A. Stuart. "The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
*A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.


[[Categorie:Statistiek]]