Brontekst bekijken van Wortel 5

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
<!--| colspan="2" align="center" | <b>[[Irrationale getallen]]: [[Constante van Apéry|ζ(3)]] [[Wortel 2|<math>\sqrt{2}</math>]] [[Wortel 3|<math>\sqrt{3}</math>]] [[Wortel 5|<math>\sqrt{5}</math>]] [[Gulden snede|φ]] [[e (wiskunde)|e]] [[Pi (wiskunde)|π]]</b> -->
| colspan="2" align="center" | '''[[Irrationale getallen]]: [[Constante van Apéry|ζ(3)]] [[Wortel 2|√2]] [[Wortel 3|√3]] √5 [[Gulden snede|φ]] [[e (wiskunde)|e]] [[Pi (wiskunde)|π]]'''
|-
| colspan="2" align="center" | '''''√5'' uitgedrukt in verschillende getalstelsels'''
|-
|[[Binair_talstelsel|Binair]]
| 10,0011 1100 0110 1111…
|-
| [[Decimaal talstelsel|Decimaal]]
| 2,23606 79774 99789 69… 
|-
| [[Hexadecimaal|Zestientallig]]
| 2,3C6E F372 FE94 F82C… 
|-
| Als [[kettingbreuk]]
| <math>2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}</math>
|}

'''Wortel 5''' is het [[Positief getal|positieve]] [[Reëel getal|reële getal]] dat vermenigvuldigd met zichzelf [[5 (getal)|het getal 5]] oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 2,23607 en wordt wel de ''hoofdwaarde'' van [[Wortel (wiskunde)|wortel]] 5 genoemd, om verwarring te voorkomen met het negatieve getal (ongeveer -2,23607) dat gekwadrateerd ook 5 geeft. Wortel 5 wordt genoteerd als √5 en komt voor in de uitdrukking voor de [[gulden snede]]. Zoals [[wortel 3|√3]] de lengte van de [[lichaamsdiagonaal]] van een [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] in de ruimte volgens de [[stelling van Pythagoras]], is √5 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een [[hyperkubus]] in de vijfdimensionale ruimte. Volgens de definitie van [[Machtsverheffen|machten]] met een gebroken macht (exponent) is √5 gelijk aan <math>5^{\frac{1}{2}}</math>.

√5 kan niet geschreven worden als een breuk van gehele getallen en is daarmee een [[irrationaal getal]].<ref>{{en}} Dauben, Joseph W. (June 1983) [[Scientific American]] ''Georg Cantor and the origins of transfinite set theory.'' Volume 248; Page 122.</ref> De eerste 60 significante cijfers van de decimale weergave zijn

:2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 <ref>{{en}}[https://oeis.org/A002163 A002163] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref>

De afronding tot 2,236 is 99,99% precies. Een goede benadering van √5 is '''161/72''' ≈ 2,23611, met een verschil met de exacte waarde van minder dan 1/10.000, ongeveer 4,3 x 10<sup>−5</sup>, ondanks de kleine [[noemer]] van maar 72. In december 2013 was √5 berekend tot ten minste tien miljard decimalen.<ref>{{en}}Lukasz Komsta: ''[https://web.archive.org/web/20160201032221/http://www.komsta.net/computations Computations page]''</ref>

==Bewijs dat √5 irrationaal is ==
Uit het ongerijmde,

Veronderstel dat <math>\sqrt{5}</math> wel rationaal is , dus te schrijven als <math>\sqrt{5}=\frac mn</math>, met <math>m</math> en <math>n</math> relatief priem, dus zonder gemeenschappelijke factor. Kwadrateren levert: 
:<math>5n^2=m^2</math>,

dus <math>m</math> is een veelvoud van 5, stel <math>m=5p</math>. Maar dan is
:<math>n^2=5p^2</math>,

dus is ook <math>n</math> een vijfvoud <math>n=5q</math>. Dit is in tegenspraak met het veronderstelde.

==Kettingbreuk==
√5 kan geschreven worden als de [[kettingbreuk]]

: <math> [2; 4, 4, 4, 4, 4,\ldots] = 2 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \ddots}}}}. </math> <ref>{{en}}[https://oeis.org/A040002 A040002] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref>

De [[Kettingbreuk#Convergenten|convergenten]] en semiconvergenten van deze kettingbreuk zijn (de zwarte termen zijn de semiconvergenten):
:<math>{\color{red}{\frac{2}{1}}}, \frac{7}{3} , {\color{red}{\frac{9}{4}}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{red}{\frac{38}{17}}} , \frac{123}{55} , {\color{red}{\frac{161}{72}}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{red}{\frac{682}{305}}} , \frac{2207}{987} , {\color{red}{\frac{2889}{1292}}}, \dots</math>
Convergenten zijn <span style="color:red">rood</span>; hun tellers zijn 2, 9, 38, 161, ...<ref>{{en}}[https://oeis.org/A001077 A001077] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref> en hun noemers zijn  1, 4, 17, 72, ...<ref>{{en}}[https://oeis.org/A001076 A001076] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref>

Het zijn allemaal de [[Kettingbreuk#Beste benaderingen van de eerste en tweede soort|beste rationale benaderingen]] van √5, dat wil zeggen dat de benadering van √5 beter is dan met een breuk met een kleinere noemer.

==Babylonische methode==
Als √5 wordt berekend met de  [[Babylonische methode]] ([[iteratie]]), te beginnen met {{math|r<sub>0</sub> {{=}} 2}} en met {{math|r<sub>n+1</sub>}} {{=}} 1/2 (r<sub>n</sub> + 5/r<sub>n</sub>) voor n = 0, 1, 2, 3, .., dan is de {{math|n}}de benadering  {{math|r<sub>n</sub>}} gelijk aan de <math>2^n</math>-de convergent van een convergerende rij:
:<math>\frac{2}{1} = 2{,}0;\quad \frac{9}{4} = 2{,}25;\quad \frac{161}{72} = 2{,}23611\ldots;\quad \frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779 \ldots</math>

==Geneste kwadraten==
Deze geneste kwadraten [[Convergentie (wiskunde)|convergeren]] naar <math> \sqrt{5} </math>:
:<math>
\begin{align}
\sqrt{5} & = 3 - 10 \left( \frac{1}{5}+ \left( \frac{1}{5}+\left( \frac{1}{5}+ \left( \frac{1}{5}+ \ldots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2 \\
& = \frac{9}{4} - 4 \left( \frac{1}{16}- \left( \frac{1}{16}-\left( \frac{1}{16}- \left( \frac{1}{16}- \ldots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2 \\
& = \frac{9}{4} - 5 \left( \frac{1}{20}+ \left( \frac{1}{20}+\left( \frac{1}{20}+ \left( \frac{1}{20}+ \ldots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2
\end{align}
</math>

==Verband met de gulden snede en de Rij van Fibonacci==
[[File:Golden Rectangle Construction.svg|thumb|De diagonaal ter lengte van √5/2 van een half vierkant is de grondslag voor de meetkundige constructie van een [[Gulden snede#Gulden rechthoek|gulden rechthoek]].]]
De [[gulden snede]] φ is het [[rekenkundig gemiddelde]] van 1 en <math>\sqrt{5}</math>.<ref>{{en}}Browne, Malcolm W. ''Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty'', [[New York Times]], 30 juli 1985, Section C; Page 1. Dit artikel wordt vaak aangehaald.</ref> Het [[algebra]]ische verband tussen √5, de gulden snede en zijn geconjugeerde ({{math|Φ {{=}} –1/φ}} {{=}} {{math|1 − φ}}) is:

: <math>
\begin{align}
\sqrt{5} & = \varphi - \Phi = 2\varphi - 1 = 1 - 2\Phi \\[5pt]
\varphi & = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\[5pt]
\Phi & = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.
\end{align}
</math>
(Zie onder voor de meetkundige betekenis in een rechthoek met zijde <math>\sqrt{5}</math>.)

<math>\sqrt{5}</math> komt van nature voor in de expliciete uitdrukking voor de getallen in de [[Rij van Fibonacci]]:

: <math>F(n) = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}.</math>

Het [[quotiënt]] van <math>\sqrt{5}</math> en {{math|φ}} (of het product van <math>\sqrt{5}</math> en {{math|Φ}}), en zijn reciproke (1/{{math|Φ}}), levert een interessante [[kettingbreuk]] en is verwant aan de verhouding tussen getallen in de [[Rij van Fibonacci]] en in de [[Rij van Lucas]]:<ref>{{en}}Richard K. Guy: ''The Strong Law of Small Number'', American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675–712</ref>

: <math>
\begin{align}
\frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} & = 1,3819660112501051518\dots \\
\frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} & = 0,72360679774997896964\ldots \\
& = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots].
\end{align}
</math>

De [[reeks (wiskunde)|reeks]] van [[Convergentie (wiskunde)|convergenten]] naar deze waarden heeft de reeks van de Rij van Fibonacci en de Rij van Lucas als [[Teller (breuk)|tellers]] en [[noemer]]s en omgekeerd:

: <math>
\begin{align}
& {1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \ldots \ldots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots] \\[8pt]
& {1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].
\end{align}
</math>

==Meetkunde==
[[File:pinwheel 1.svg|250px|thumb|Ontleding van een [[betegeling|Conway-driehoek]] in kleinere driehoeken ([[Homothetie (meetkunde)|homothetie]]).]]
[[File:Root rectangles Hambidge 1920.png|thumb|250px|Constructie van wortels met een passer volgens Jay Hambidge (''Dynamic symmetry: the Greek vase'', 1920).]]
[[Meetkunde|Meetkundig]] is √5 de lengte van de [[diagonaal]] van een [[rechthoek]] met zijden ter lengte [[1 (getal)|1]] en [[2 (getal)|2]] vanwege de [[Stelling van Pythagoras]]. Zo'n rechthoek is te maken door een [[Vierkant (meetkunde)|vierkant]] te halveren, of door twee gelijke vierkanten naast elkaar te zetten. Met het verband tussen √5 en het [[gulden snede|gulden getal]] <!-- te vet?  <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618</math>... --> {{math|φ}} = (1 + √5) / 2 = 1,618 ...vormt dit het uitgangspunt voor de meetkundige constructie van een [[Gulden snede#Gulden rechthoek|gulden rechthoek]] uit een vierkant en voor de constructie van een [[regelmatige vijfhoek]] (want de verhouding van een zijde tot de diagonaal van een vijfhoek is gelijk aan {{math|φ}}). √5 is ook de lengte van de diagonaal van een kubus met zijden ter lengte 1.
<!-- klopt dit wel of ben ik zo dom?
Het getal √5 houdt algebraïsch en meetkundig direct samen met √2 en √3, want √5 is de lengte van de schuine zijde ([[hypotenusa]]) van een rechthoekige driehoek met [[rechthoekszijde]]n √2 en √3 vanwege de Stelling van Pythagoras. Zulke rechthoekige driehoeken zitten in een kubus met zijden 1: de zijden van alle driehoeken met als hoekpunten: het midden van de kubus, een hoekpunt van de kubus en het overstaande midden van een zijde op een zijvlak waar dat hoekpunt op zit, staan tot elkaar in de verhouding {{nowrap|√2:√3:√5.}} Dit komt doordat deze wortels in de kubus zitten: √2 (verhouding van de diagonaal van een zijde tot een zijde, of afstand tussen overstaande zijden), √3 (verhouding van de lichaamsdiagonaal tot een zijde) en √5 (zie boven).
-->

Een rechthoek met verhoudingen van de zijdes 1:√5 kunnen we een ''wortel 5 rechthoek'' noemen. Deze past in een reeks rechthoeken met wortels, een [[deelverzameling]] van de dynamische rechthoeken van de kunstenaar Jay Hambidge, die uitgaan van {{nowrap|1=√1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5…}} en gemaakt worden door achtereenvolgens de diagonaal van de vorige rechthoek te gebruiken, te beginnen met een vierkant.<ref>{{en}}{{Citeer boek| url = https://books.google.com/books?id=1KI0JVuWYGkC&pg=PA41&dq=intitle:%22Geometry+of+Design%22+%22root+5%22 | auteur = Kimberly Elam | titel = Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition | plaats = New York | publisher = Princeton Architectural Press | datum = 2001 | isbn = 1-56898-249-6 }}</ref> Een wortel 5 rechthoek is bijzonder omdat hij gesplitst kan worden in een vierkant en twee gulden rechthoeken (met afmetingen {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}}) waarin {{math|Φ}} = 1/{{math|φ}} = {{math|φ}} - 1 = 0,618... of in gulden rechthoeken van verschillende groottes (met afmetingen {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}} en {{nowrap|1 × {{math|φ}}}}).<ref>{{en}}{{Citeer boek | titel = The Elements of Dynamic Symmetry | auteur = Jay Hambidge | uitgever = Courier Dover Publications | datum = 1967 | isbn = 0-486-21776-0 | url = https://books.google.com/books?id=VYJK2F-dh2oC&pg=PA26&dq=%22root+five+rectangle%22++section+inauthor:hambidge }}</ref>

Zo'n rechthoek met verhoudingen van de zijdes 1:√5 kan ook gezien worden als de vereniging van twee gelijke gulden rechthoeken (met afmetingen {{nowrap|1 × {{math|φ}}}}) waarvan de doorsnee een vierkant is. Dit kan gezien worden als de meetkundige uitleg van het algebraische verband tussen √5, {{math|φ}} en {{math|Φ}}. De rechthoek met wortel vijf kan opgebouwd worden uit een 1:2 rechthoek of meteen uit een vierkant net als de methode voor de gulden rechthoek (zie de figuur) maar dan door de booglengte √5/2 naar beide kanten uit te breiden.

==Goniometrie==
Net als [[wortel 2|√2]] en [[wortel 3|√3]] komt √5 vaak voor in [[Goniometrie|goniometrische]] uitdrukkingen, bijvoorbeeld in de [[Sinus en cosinus|sinus]]- en [[cosinus]]waarden voor alle hoeken in graden die deelbaar zijn door 3 maar niet door 15.<ref>{{en}} [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Julian D. A. Wiseman,''Sin and cos in surd'']</ref> De eenvoudigste zijn
:<math>\begin{align}
\sin\frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ &= \tfrac{1}{4}(\sqrt5-1) = \frac{1}{\sqrt5+1}, \\[5pt]
\sin\frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ &= \tfrac{1}{4}\sqrt{2(5-\sqrt5)}, \\[5pt]
\sin\frac{3\pi}{10} = \sin 54^\circ &= \tfrac{1}{4}(\sqrt5+1) = \frac{1}{\sqrt5-1}, \\[5pt]
\sin\frac{2\pi}{5} = \sin 72^\circ &= \tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}\, . \end{align}</math>

Dit soort berekeningen was vroeger, voor het tijdperk van de zakrekenmachine, handig om goniometrische tabellen op te stellen. Maar ze zijn nog steeds nuttig om problemen met goniometrie exact op te lossen. Omdat √5 te maken heeft met rechthoeken in halve vierkanten (zijden ter lengte 1 en 2, dus met [[Stelling van Pythagoras|Pythagoras]] schuine zijde √5) en [[regelmatige vijfhoek]]en, duikt √5 op in formules voor meetkundige figuren die van ze afgeleid worden, zoals voor de inhoud van een [[dodecaëder]] (regelmatig twaalfvlak).

==Diofantische benaderingen==
De [[Stelling van Hurwitz]] in de [[getaltheorie]] over [[Diofantische benadering]]en beweert dat elk [[irrationaal getal]] {{math|'x'}} met oneindig veel [[rationaal getal|rationale getallen]] <math>m/n</math> benaderd kan worden (waarbij die breuk die niet verder vereenvoudigd kan worden) zodat
:<math>\left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2}</math>
en dat √5 de krapste afschatting geeft, in de zin dat voor elke grotere constante dan √5 er een paar irrationale getallen {{math|'x'}} zijn waarvoor maar eindig veel benaderingen bestaan <ref>{{en}}{{Citeer boek | achternaam=LeVeque | voornaam=William Judson | titel=Topics in number theory | uitgever=Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. |mr=0080682 | jaar=1956}}</ref>

Verwant aan de stelling van Hurwitz is een andere stelling  <ref name=khinchin/> dat voor elk drietal opeenvolgende [[Convergentie (wiskunde)|convergenten]] van een [[kettingbreuk]]  <math>p_i/q_i</math>, <math>p_{i+1}/q_{i+1}</math>, <math>p_{i+2}/q_{i+2}</math>, van een getal {{math|'α'}}, ten minste een van de volgende drie ongelijkheden geldt:
:<math>\left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}</math>

√5 in de noemer is de scherpst mogelijke grens voor de convergenten van de [[gulden snede]]. Een scherpere afschatting blijkt niet mogelijk te zijn door te kijken naar de vierde of latere convergenten.<ref name=khinchin>{{en}}{{Citeer boek | achternaam=Khinchin | voornaam=Aleksandr Yakovlevich | title=Continued Fractions | year=1964 | url=https://archive.org/details/continuedfractio00khin_0 | uitgever = University of Chicago Press, Chicago and London | jaar = 1964}}</ref>

==Algebra==
De [[ring (wiskunde)|ring]] {{math|ℤ}}[√5] bevat getallen van de vorm {{math|a + b √-5}}, met {{math|a}} en {{math|b}} [[geheel getal|gehele getallen]] en √-5 het [[imaginair getal|imaginaire getal]] i√5. Deze ring wordt vaak genoemd als voorbeeld van een [[integriteitsdomein]] dat geen [[uniek factorisatiedomein]] is. Het getal 6 kan binnen deze ring op twee manieren in factoren gesplitst worden:
: <math>6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}). \, </math>
Het [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam]] {{math|ℚ}}[√-5] is net als elk ander [[kwadratisch veld]] een [[Abelse uitbreiding]] van de rationale getallen (de breuken). De [[stelling van Kronecker en Weber]] garandeert dat wortel 5 geschreven kan worden als een rationale [[lineaire combinatie]] van [[eenheidswortel]]s:
:<math>\sqrt5 = e^{\frac{2\pi}{5}i} - e^{\frac{4\pi}{5}i} - e^{\frac{6\pi}{5}i} + e^{\frac{8\pi}{5}i}. \, </math>

==Gelijkheden van Ramanujan==
Wortel 5 komt voor in verschillende gelijkheden met kettingbreuken die [[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan|Srinivasa Ramanujan]] ontdekte.<ref>{{Citeer journal | auteur=K. G. Ramanathan | titel=On the Rogers-Ramanujan continued fraction |mr=813071 | jaarr=1984 | journal=Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences | issn=0253-4142 | volume=93 | issue=2 | pagina=67–77 | doi=10.1007/BF02840651}}</ref><ref>{{Citeer web | url=http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | auteur=Eric W. Weisstein | titel=Ramanujan Continued Fractions}} op [[MathWorld]]</ref>

Bijvoorbeeld dit geval van de Rogers–Ramanujan kettingbreuk:
:<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).</math>

<!-- extra blank line between two fairly complicated [[TeX]] displays for ease of legibility -->

:<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \sqrt[5]{5^{\frac34}(\varphi - 1)^{\frac52} - 1}} - \varphi \right)e^{\frac{2\pi}{\sqrt{5}}}.</math>

<!-- extra blank line between two fairly complicated [[TeX]] displays for ease of legibility -->

:<math>4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.</math>

{{Appendix}}
{{Commonscat}}

[[Categorie:Getaltheorie]]
[[Categorie:Wiskundige constante]]