Brontekst bekijken van Wortel 3

[[Bestand:01-Würfel-Parallelperspektive.svg|thumb|Een kubus met rode lichaamsdiagonaal ter lengte van √3.]]
{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | '''[[Irrationale getallen]]: [[Constante van Apéry|ζ(3)]] [[Wortel 2|√2]] √3 [[Wortel 5|√5]] [[Gulden snede|φ]] [[e (wiskunde)|e]] [[Pi (wiskunde)|π]]'''
|-
| colspan="2" align="center" | '''''√3'' uitgedrukt in verschillende getalstelsels'''
|-
|[[Binair_talstelsel|Binair]]
| 1,1011 1011 0110 0111 1010…
|-
| [[Decimaal talstelsel|Decimaal]]
| 1,73205 08075 68877 2935…
|-
| [[Hexadecimaal|Zestientallig]]
| 1,BB67 AE85 84CA A73B …
|-
| Als [[kettingbreuk]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>
|}
'''Wortel 3''' is het [[Positief getal|positieve]] [[Reëel getal|reële getal]] dat vermenigvuldigd met zichzelf [[3 (getal)|het getal 3]] oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 1,73205 en wordt wel de ''hoofdwaarde'' van [[Wortel (wiskunde)|wortel]] 3 genoemd, om verwarring te voorkomen met het negatieve getal (ongeveer -1,73205) dat gekwadrateerd ook 3 geeft. Wortel 3 wordt genoteerd als √3. Zoals [[Wortel 2|√2]] de lengte is van de [[diagonaal]] van een [[Vierkant (meetkunde)|vierkant]] in het [[tweedimensionale]] platte vlak, is √3 de lengte van de [[lichaamsdiagonaal]] van een [[Kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]] in de ruimte volgens de [[stelling van Pythagoras]].

√3 kan niet geschreven worden als een breuk van gehele getallen en is daarmee een [[irrationaal getal]]. Het staat ook bekend als de ''Constante van Theodorus'', genoemd naar [[Theodorus van Cyrene]], die bewees dat √3 irrationaal is. Volgens de definitie van gebroken [[Machtsverheffen|machten]] is √3 gelijk aan <math>3^{\frac{1}{2}}</math>.

==Decimale weergave==
De eerste 60 cijfers van de decimale weergave van √3 zijn:
:1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580….<ref>[https://oeis.org/A002194 A002194] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref>

In december 2013 was de waarde van wortel 3 berekend tot ten minste tien miljard cijfers.<ref>{{Citeer web | auteur=Łukasz Komsta | datum= | url=http://www.komsta.net/computations | titel=Computations &#124; Łukasz Komsta | bezochtdatum=24 september 2016 | archiefdatum=2016-11-04 | archiefurl=https://web.archive.org/web/20161104012857/https://www.komsta.net/computations | dodeurl=ja }}</ref>

==Benaderingen==
===Breuken===
* Wortel 3 kan benaderd worden met de breuk 97/56 (1,732142857…). Ondanks de kleine [[noemer]] van maar 56 wijkt deze benadering minder dan 1/10,000 (ongeveer 9,2×10<sup>−5</sup>) af van de juiste waarde. De afronding tot 1,732 is nauwkeurig binnen 0,01% van de echte waarde.
* [[Archimedes]] klemde 3 in tussen de kwadraten van twee breuken<ref>{{Citeer journal
| author= Wilbur R. Knorr |year=1976 |title=''Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation'' |journal=Archive for History of Exact Sciences |publisher= |volume=15 |issue=2 |pages=115–140 |url= |doi=10.1007/bf00348496}}</ref><br>
::(265/153)<sup>2</sup> < 3 < (1351/780)<sup>2</sup>
:en vond met die breuken twee benaderingen die nauwkeurig zijn tot op 2/23409 (vier decimalen) en 1/608400 (zes decimalen), respectievelijk.

<!--Niet erg duidelijke sectie, bovendien niet erg relevant
===Kettingbreuken===
* √3 kan als een kettingbreuk worden geschreven {{nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}}.<ref>[https://oeis.org/A040001 A040001] in de [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]], de databank van rijen van gehele getallen.</ref> Dan geldt:
:<math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>
zodat als n naar oneindig gaat <math>n\to\infty</math> :
:<math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

Als n = 3 levert dit een redelijke benadering van √3:
:<math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix}11 & 30 \\15 & 41 \end{bmatrix}</math>
:<math> 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 = 2 \cdot \frac{41}{30} -1 = 1,733</math>
Voor n = 4
:<math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^4 = \begin{bmatrix}41 & 112 \\56 & 153 \end{bmatrix}</math>
:<math> 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 = 2 \cdot \frac{153}{112} -1 = 1,7321</math>
* √3 kan worden uitgedrukt als [[gegeneraliseerde kettingbreuk]]
:<math> [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}</math>

dat is {{nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} voor elke tweede term uitgerekend. De breuk afbreken zoals getoond (... = 0) geeft de benadering 2 - 15/56 = 1,732143. Een deelstreep meer gebruiken geeft de nog betere benadering 2 - 56/209 = 1,732057 enzovoorts.
-->
===Geneste uitdrukking===
De volgende geneste uitdrukkingen [[Convergentie (wiskunde)|convergeren]] naar √3:
:<math>\sqrt{3} =2 - 2 \left( \tfrac{1}{2}- \left( \tfrac{1}{2}-\left( \tfrac{1}{2}- \left( \tfrac{1}{2}- \ldots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2=</math>
::<math>= \frac{7}{4} - 4 \left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+\left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+ \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2</math>

Voor de eerste uitdrukking geldt bijvoorbeeld:
:<math>2 - 2\,(\tfrac{1}{2} - A)^2=x</math>,

met <math>A</math> recursief bepaald door:
:<math>A=(\tfrac{1}{2} - A)^2</math>

Dus
:<math>A=\tfrac{1}{4} - A+A^2</math>,

waaruit volgt
:<math>\tfrac{3}{4}=1-2A+A^2=(1-A)^2</math>
en dus
:<math>A=1-\tfrac{1}{2}\sqrt{3}</math>,

zodat inderdaad
:<math>x=2 - \tfrac{1}{2}\,(\sqrt{3}-1)^2=\sqrt{3}</math>

== √3 is irrationaal ==
Een [[bewijs uit het ongerijmde]] kan op analoge wijze gegeven worden als voor √2.

Stel dat √3 een [[rationaal getal]] is en wel:
:<math>\sqrt{3} = \frac{a}{b}</math>,

waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).

Dan volgt dat 
:<math>b\,\sqrt{3} = a</math>

en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]]

:<math>3b^2 = a^2</math>

Daaruit volgt dat <math>a^2</math> een drievoud is, en dus ook dat <math>a</math> zelf een drievoud is, zeg <math>a=3k</math>.

Daaruit volgt weer: 
:<math>3b^2 = (3k)^2=9k^2 </math>,

dus
:<math>b^2 = 3k^2 </math>.

Kennelijk is <math>b^2</math> een drievoud, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √3 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √3 een irrationaal getal is.

==Zie ook==
* [[Wortel 2]]

{{Appendix}}

[[Categorie:Getaltheorie]]
[[Categorie:Wiskundige constante]]