Brontekst bekijken van Wiener-filter

'''Wiener-filtering''' is een methode om een [[Signaal (algemeen)|signaal]] dat vervuild is met [[Ruis (communicatie)|ruis]], te filteren om zo veel mogelijk ruis te verwijderen. De methode werd ontworpen door [[Norbert Wiener]] in de [[1940-1949|jaren 40]].

Het voordeel van deze methode is dat het makkelijk te implementeren is in een wiskundepakket (bijvoorbeeld [[MATLAB]]). Een nadeel is de vereiste informatie over zowel het zuiver signaal als het ruissignaal. Deze signalen worden [[Stationair proces|stationair]] verondersteld en moeten [[Correlatie|ongecorreleerd]] zijn. Het filter zal bijvoorbeeld goed werken bij [[Witte ruis|witte]] gaussische ruis.

Het filter wordt gekarakteriseerd door zijn [[impulsantwoord]] <math>h</math>. Dit impulsantwoord is te vinden door het oplossen van de [[Wiener-Hopf-vergelijking]]:
:<math>\mathrm{conv}(h,R_{xx}) = R_{ss}</math>

== Probleemstelling ==
Het ingangssignaal <math>x(t)</math> aan het filter wordt beschouwd als een zuiver signaal <math>s(t)</math> dat vervuild is met [[Additiviteit|additieve]] ruis <math>r(t)</math>:

:<math>x(t) = s(t)+r(t)</math>

Het resultaat van het filter <math>\hat{s}(t)</math> wordt verkregen door een [[convolutie]] met <math>g(t)</math>:

:<math>\hat{s}(t) = (g * x)(t) = g(t) * (s(t)+r(t))</math>

met

* <math>s(t)</math> het zuivere signaal
* <math>r(t)</math> de additieve ruis
* <math>x(t)</math> het vervuilde signaal
* <math>g(t)</math> het impulsantwoord van het filter
* <math>\hat{s}(t)</math> het gefilterde signaal

De [[fout]] <math>e(t)</math> is gedefinieerd als het verschil tussen het zuivere signaal en het gefilterde signaal:

:<math>e(t) = s(t + \alpha) - \hat{s}(t)</math>

Daarbij is het zuivere signaal verschoven over <math>\alpha</math> om rekening te houden met de [[vertraging]] door het filter.

De kwadratische fout wordt dan:

:<math>e^2(t) = s^2(t + \alpha) - 2s(t + \alpha)\hat{s}(t) + \hat{s}^2(t)</math>

Afhankelijk van de waarde van <math>\alpha</math> kunnen drie soorten problemen onderscheiden worden:

* <math>\alpha > 0</math>: voorspelling (de fout wordt kleiner als <math>\hat{s}(t)</math> lijkt op latere waarden van <math>s</math>)
* <math>\alpha = 0</math>: filtering (de fout wordt kleiner als <math>\hat{s}(t)</math> lijkt op <math>s(t)</math>)
* <math>\alpha < 0</math>: smoothing (de fout wordt kleiner als <math>\hat{s}(t)</math> lijkt op eerdere waarden van <math>s</math>)

We kunnen de [[convolutie]] uitschrijven:

:<math>\hat{s}(t) = \int_{-\infty}^\infty g(\tau)\left[s(t - \tau) + r(t - \tau)\right]\,\mathrm{d}\tau</math>

Substitueren in de vergelijking voor <math>e^2(t)</math> en het berekenen van de [[Verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]] levert:

:<math>E(e^2) = R_{ss}(0) - 2\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{xs}(\tau + \alpha)\,\mathrm{d}\tau} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_{xx}(\tau - \theta)\,\mathrm{d}\tau}\,\mathrm{d}\theta}</math>

met

* <math>R_{ss}</math> de autocorrelatiefunctie van <math>s(t)</math>
* <math>R_{xx}</math> de autocorrelatiefunctie van <math>x(t)</math>
* <math>R_{xs}</math> de kruiscorrelatiefunctie van <math>x(t)</math> en <math>s(t)</math>

Indien het signaal <math>s(t)</math> en de ruis <math>r(t)</math> ongecorreleerd zijn geldt het volgende:

* <math>R_{xs}=R_{ss}</math>
* <math>R_x=R_s+R_r</math>

Voor veel toepassingen is dit een redelijke aanname, aangezien de ruis niet afhangt van het signaal, zoals bijvoorbeeld [[Kwantisatie (signaalanalyse)|kwantisatieruis]] en [[sensor]]ruis.

Het doel van het filter is <math>E(e^2)</math> te minimaliseren door het bepalen van een optimale <math>g(t)</math>.

[[Categorie:Stochastisch proces]]