Brontekst bekijken van Weierstrass-substitutie

De '''Weierstrass-substitutie''', genoemd naar de Duitse wiskundige [[Karl Weierstrass]], is een methode om met behulp van [[Integratie door substitutie|substitutie]] een integraal te berekenen. Met deze methode kan de [[primitieve functie]] van een [[rationale functie]] in [[Sinus en cosinus|<math>\sin(x)</math>]] en <math>\cos(x)</math> worden bepaald. Door de substitutie ontstaat een nieuwe rationale functie in de nieuwe variabele <math>t.</math>

== Vorm van de substitutie ==
De substitutie wordt gebruikt om de integraal te bepalen van een rationale functie <math>R</math> van <math>\sin(x)</math> en <math>\cos(x),</math> dus een [[Breuk (wiskunde)|breuk]] met in teller en noemer een [[polynoom]] die machten van <math>\sin(x)</math> en <math>\cos(x)</math> bevat. Andere [[goniometrische functie]]s kunnen ook voorkomen aangezien die tot sinussen en cosinussen kunnen worden herleid. De integraal is dus van de vorm:

: <math>\int R(\cos(x), \sin(x))\ \mathrm{d}x</math>

De Weierstrass-substitutie die in dat geval voor <math>-\pi < x \leq \pi</math> kan worden toegepast, is:

: <math>x = 2 \arctan(t)</math>
dus
: <math>t = \tan(\tfrac{1}{2}x)</math>

Door deze substitutie worden <math>\sin(x)</math> en <math>\cos(x)</math> als functie van <math>t</math>:

: <math>\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}</math>

: <math>\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>

Deze uitdrukkingen volgen uit de [[Lijst van goniometrische gelijkheden|basisformules van de goniometrie]] door overgang op de halve hoek:

: <math>\sin(x) = 2 \sin(\tfrac{1}{2}x) \cos(\tfrac{1}{2}x) =  2 \tan(\tfrac{1}{2}x) \cos^2(\tfrac{1}{2}x) = \frac{2\tan(\tfrac{1}{2}x)}{\sec^2(\tfrac{1}{2}x)} = \frac{2\tan(\tfrac{1}{2}x)}{1+\tan^2(\tfrac{1}{2}x)} = \frac{2t}{1+t^2}</math>

en:

: <math>\cos(x) =  2\cos^2(\tfrac{1}{2}x) - 1 = \frac{2}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)} - 1 = \frac{2}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}  - 1 = \frac{2}{1+t^2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2} </math>
 
Verder is:  

: <math>\frac{\mathrm{d}\tan(\tfrac 12x)}{\mathrm{d}x} = \tfrac 12 (1+ \tan^2(\tfrac12 x))</math>
dus
: <math>\mathrm{d}x = \frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2} </math>

Het resultaat van deze substitutie is een rationale functie in de variabele <math>t.</math>

== Voorbeeld 1 ==
Een speciaal geval doet zich voor als de te integreren functie alleen even machten van de [[sinus en cosinus]] bevat:

: <math>\int R(\cos^2(x),\sin^2(x))\,\mathrm{d}x</math>

Dan is de substitutie

: <math>t = \tan(x)</math>

beter geschikt en worden de bijhorende substituties:

: <math>\sin^2(x) = \frac{t^2}{1+t^2}</math>

: <math>\cos^2(x) = \frac{1}{1+t^2}</math>

en voor de differentiaal:

: <math>\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} </math>

== Voorbeeld 2 ==
De integrand in de volgende integraal is een rationale functie:

: <math>I = \int \frac{\sin(x)}{1+\sin(x)+\cos(x)} \ \mathrm{d}x</math>

Na toepassing van de Weierstrass-substitutie wordt dit een rationale integraal in de variabele <math>t:</math>

: <math>I = \int \frac{2t}{(t+1)(t^2+1)} \ \mathrm{d}t</math>

Deze integraal kan verder met [[breuksplitsing]] worden berekend:

: <math>I = \int \left(- \frac{1}{t+1} +  \frac{t+1}{t^2+1} \right) \, \mathrm{d}t</math>

zodat:

: <math>I = -\ln|t+1| + \tfrac{1}{2}\ln(t^2+1) + \arctan(t) + K</math>

Na terugsubstitutie van <math>t = \tan(\tfrac{1}{2}x)</math> volgt:

: <math>I = \tfrac{1}{2}x - \ln\ \left|\ \sin(\tfrac{1}{2}x) + \cos(\tfrac{1}{2}x)\ \right| +  K</math>

== Websites ==
* [[MathWorld]]. [http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassSubstitution.html Weierstrass Substitution]. 

[[Categorie:Integraalrekening]]
[[Categorie:Wiskundige analyse]]