Brontekst bekijken van Voortbrengen (algebra en lineaire algebra)

'''Voortbrengen''' is een term die in verschillende deelgebieden van de [[wiskunde]] gebruikt wordt. In het algemeen brengt een verzameling elementen een bepaalde structuur voort als die structuur de kleinste is die de gegeven verzameling omvat.

==Algebra==
In de [[algebra]] zegt men dat een [[groep (wiskunde)|groep]] <math>H</math> '''voortgebracht''' wordt door een deelverzameling <math>V</math> van een groep <math>G</math>, als <math>H</math> de kleinste [[ondergroep]] van <math>G</math> is die de verzameling <math>V</math> omvat. Er bestaat altijd zo'n kleinste ondergroep, het is namelijk de doorsnede van alle ondergroepen van <math>G</math> die <math>V</math> omvatten. Men noemt <math>V</math> een [[genererende verzameling]] van <math>H.</math>

==Lineaire algebra==
{{Zie hoofdartikel|Lineair omhulsel}}

Binnen de [[lineaire algebra]] zegt men dat een stelsel [[vector (wiskunde)|vectoren]]  <math>S</math> uit een vectorruimte <math>V</math> de [[lineaire deelruimte|deelruimte]] <math>U</math> van <math>V</math> '''voortbrengt''', als <math>U</math> bestaat uit alle [[lineaire combinatie]]s van de vectoren in <math>S,</math> 

Men noemt <math>U</math> de lineaire deelruimte die wordt '''voortgebracht''' door <math>S,</math>, of erdoor wordt '''opgespannen''', en noteert:
:<math> U = \mathrm{span}(S).</math>

In het geval dat <math>S = \{v_1,\ldots, v_m\}</math> eindig is, zegt men ook:
:<math>U = \mathrm{span}(S) = \mathrm{span}(v_1,\ldots, v_m).</math>

De door <math>S</math> voortgebrachte ruimte <math>U</math> wordt het [[lineair omhulsel]] van <math>S</math> genoemd. 

Als het genoemde stelsel vectoren <math>S</math> [[lineaire onafhankelijkheid|lineair onafhankelijk]] is, dan is <math>S</math> een [[basis (lineaire algebra)|basis]] van de voortgebrachte deelruimte <math>U.</math>
 
Meer algemeen geldt: als de vectorruimte <math>U</math> wordt voortgebracht door het stelsel <math>S</math>, dan bevat <math>S</math> een [[basis (lineaire algebra)|basis]] van <math>U.</math>

De door <math>S</math> voortgebrachte ruimte <math>U</math> verandert niet 
* als men aan <math>S</math> een vector uit <math>U</math> toevoegt;
* als men een vector uit <math>S</math> die een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit <math>S</math>, weglaat;
* als men in <math>S</math> een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal ([[scalair]]); 
* als men bij een vector uit <math>S</math>, een andere vector uit <math>S</math> optelt.

[[Categorie:Lineaire algebra]]
[[Categorie:Groepentheorie]]