Brontekst bekijken van Volledige en trouwe functors

In de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]], een abstract deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''trouwe functor''' (respectievelijk een '''volledige functor''') een [[functor]], die [[injectief]] (respectievelijk [[surjectief]]) is, wanneer hij beperkt wordt tot elke verzameling van [[morfisme]]n met een gegeven bron en doel. 

Expliciet gemaakt: laat ''C'' en ''D'' ([[lokaal kleine categorie|lokaal kleine]]) [[Categorie (wiskunde)|categorie]]ën zijn en laat ''F'' : ''C'' → ''D'' een functor van ''C'' naar ''D'' zijn. De functor ''F'' induceert een [[functie (wiskunde)|functie]]
:<math>F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))</math>
voor elk paar van objecten ''X'' en ''Y'' in ''C''. Van de functor ''F'' zegt men deze 
*'''trouw''' is als ''F''<sub>''X'',''Y''</sub> [[injectief]] is
*'''volledig''' is als ''F''<sub>''X'',''Y''</sub> [[surjectief]] is
*'''volledig trouw''' is als ''F''<sub>''X'',''Y''</sub> [[bijectief]] is
voor elke ''X'' en ''Y'' in ''C''.

Een trouwe functor hoeft niet injectief te zijn op objecten of morfismen. Dat wil zeggen dat twee objecten ''X'' en ''X''′ kunnen worden afgebeeld op hetzelfde object in ''D'', en dat twee [[morfisme]]n ''f'' : ''X'' → ''Y'' en ''f''′ : ''X''′ → ''Y''′ kunnen worden afgebeeld op hetzelfde morfisme in ''D''. Op gelijke wijze hoeft een volledige functor niet surjectief te zijn op objecten of morfismen. Voor sommige ''X'' in ''C'' kunnen objecten in ''D'' voorkomen, die niet van de vorm ''FX'' zijn. Morfismen tussen dergelijke objecten kunnen duidelijk van de morfismen in ''C'' komen. 

==Voorbeelden==
* De [[vergeetachtige functor]] ''U'' : '''Grp''' → '''Set''' is trouw. Deze functor is niet volledig aangezien er functies tussen [[groep (wiskunde)|groep]]en zijn, die geen [[groepshomomorfisme]]n zijn. Een categorie met een trouwe functor naar '''Set''' is (per definitie) een [[concrete categorie]]; in het algemeen is zo'n vergeetachtige functor niet volledig.

* Laat ''F'' : ''C'' → '''Set''' de functor zijn die elk object in ''C'' afbeeldt op de [[lege verzameling]] en elk morfisme op de [[lege functie]]. Dan is ''F'' volledig, maar niet surjectief op objecten of op morfismen.

* De vergeetachtige functor '''Ab''' → '''Grp''' is volledig trouw.

==Zie ook==
*[[Volledige deelcategorie]]
*[[Equivalentie (categorietheorie)]]

[[Categorie:Categorietheorie]]