Brontekst bekijken van Vloeistofmechanica

[[Bestand:Luftbewegung beim Zusammenstoß mit Gegenständen unterschiedlicher Form 1900 oder 1901.jpg|thumb|300px|De stroming rond meetkundige vormen]]
'''Vloeistofmechanica''' is het [[wiskunde|wiskundig]] beschrijven van het gedrag van [[fluïdum|fluïda]] ([[vloeistof]]fen en [[Gasvormig|gassen]]). Zij valt onder de [[continuümmechanica]] en kan worden verdeeld in:
* [[Hydrostatica|statische vloeistofmechanica]] (voor water: [[hydrostatica]]), het bestuderen van stilstaande fluïda, en
* '''vloeistofdynamica''' of [[stromingsleer]] (voor water: '''hydrodynamica'''; voor lucht: [[aerodynamica]]), het beschrijven van bewegende fluïda.

Vloeistofmechanica wordt gebruikt in uiteenlopende takken van [[wetenschap]] als [[meteorologie]], [[fysische geografie]] of [[vulkanologie]]. Voor de scheepsbouw zijn de [[wrijving|weerstand]] en voortstuwing, het manoeuvreren en de beweging in golven van schepen van belang.

==Aannames in de vloeistofmechanica==
Zoals bij alle [[Model (wetenschap)|wiskundige modellering]] worden in de vloeistofmechanica een aantal aannames gedaan. Deze aannames worden in [[vergelijking (wiskunde)|vergelijkingen]] uitgedrukt die moeten kloppen om de aannames waar te maken. Deze aannames in de vloeistofmechanica gelden de volgende eigenschappen van vloeistoffen:

*Aanname van [[behoud van massa]]
*Aanname van [[behoud van impuls]]
*Aanname van [[behoud van energie]]. Energie kan wel van de ene vorm in de andere omgezet worden (vb. energieverlies door wrijving is energieomzetting in warmte en geluid). Onder bepaalde voorwaarden geldt de [[Wet van Bernoulli|Bernoulli-vergelijking]].
*Soms wordt ook aangenomen dat de [[Massadichtheid|dichtheid]] van de vloeistof niet verandert, oftewel de vloeistof kan niet samengedrukt worden. Deze aanname kan niet voor gassen gemaakt worden.
*Soms wordt aangenomen dat de [[viscositeit]] van een gas nul is. Bij vloeistoffen heeft de viscositeit altijd een bepaalde waarde, de stroom wordt omsloten door een rand, bijvoorbeeld in een geul of pijp. Aan de rand van een stromende vloeistof geldt dan dat de [[snelheid|stroomsnelheid]] nul is.
*Een belangrijke aanname is dat de vloeistof of het gas zich gedraagt als een [[continuüm (natuurkunde)|continuüm]]. Dat wil zeggen dat, hoewel de stof bestaat uit losse [[molecuul|moleculen]] die langs elkaar en door elkaar kunnen bewegen, wordt aangenomen dat het geheel zich [[Continue functie (analyse)|continu]] gedraagt. Dat betekent dat eigenschappen als dichtheid, [[Druk (grootheid)|druk]], [[temperatuur (hoofdbetekenis)|temperatuur]], stroomsnelheid en viscositeit alleen continu kunnen variëren binnen de stof, ondanks dat de stof in werkelijkheid uit [[Discrete wiskunde|discrete]] moleculen bestaat. Deze aanname is een benadering, wat kan leiden tot van de werkelijkheid afwijkende voorspellingen in het model.

Als de aanname dat de stof zich als een [[Continuüm (natuurkunde)|continuüm]] gedraagt, leidt tot de gewenste nauwkeurigheid van voorspellingen van het model, kan [[continuümmechanica]] worden gebruikt. Dan zijn de methodes uit de vloeistofmechanica toepasbaar. Om uit te maken of de aanname van een continuüm redelijk is, wordt het [[getal van Knudsen]] gebruikt. Dit getal is wiskundig gedefinieerd als de [[verhouding (wiskunde)|ratio]] tussen de [[vrije weglengte]] van de moleculen en een bepaalde karakteristieke lengte van de bestudeerde stroming, bijvoorbeeld de dikte van een [[vliegtuigvleugel]] of de [[diameter]] van een [[bloedvat]], of een [[houtvat]] in een [[boom (plant)|boom]]. Als het getal van Knudsen veel groter is dan 1, dan is de aanname van een continuüm geschikt. Als het getal van Knudsen rond de 1 ligt, is continuümmechanica niet toepasbaar, maar kan wellicht [[statistische mechanica]] worden gebruikt.

==Navier-Stokesvergelijkingen==
{{Zie ook|Zie voor het hoofdartikel over dit onderwerp: [[Navier-Stokes-vergelijkingen]].}}

De Navier-Stokesvergelijkingen zijn vergelijkingen die de beweging van vloeistoffen en gassen verklaren. De vergelijkingen zijn wiskundige beschrijvingen van de aanname dat de [[Impuls (natuurkunde)|impuls]] binnen de stof alleen kan veranderen ([[versnelling (natuurkunde)|versnelling]]) als gevolg van externe druk op de stof of interne viskeuze krachten (vergelijkbaar met [[wrijving]]) in de stof werken. Een Navier-Stokes vergelijking geeft het krachtenevenwicht op elk willekeurig punt in de stof.

De Navier-Stokesvergelijkingen zijn [[differentiaalvergelijking]]en die de beweging van een stof beschrijven. Ze geven de relaties tussen de snelheid van verandering in de [[variabele]]n die bestudeerd worden. Zo laten Navier-Stokesvergelijkingen voor een [[ideaal fluïdum]] met een viscositeit van nul zien dat de versnelling (de snelheid van verandering in snelheid) [[recht evenredig]] is met de [[afgeleide]] van de interne druk.

Daardoor kunnen oplossingen van Navier-Stokesvergelijkingen voor een bepaald probleem worden gevonden door middel van [[Analyse (wiskunde)|wiskundige analyse]]. In de praktijk kunnen alleen simpele gevallen opgelost worden op deze manier, zoals gevallen waarbij sprake is van [[laminaire stroming]] (stroming waarbij de snelheid constant is en het [[getal van Reynolds]] klein).

Voor complexere situaties, zoals luchtstromingen bij [[El Niño (natuurverschijnsel)|El Niño]] of [[liftkracht|lift]] bij een vliegtuigvleugel, kunnen oplossingen van Navier-Stokesvergelijkingen alleen met behulp van een [[computer]] gevonden worden. De tak van wetenschap die zich hiermee bezighoudt heet [[numerieke vloeistofmechanica]].

===Algemene vorm van de vergelijkingen===
{{Zie ook|Om deze paragraaf helemaal te begrijpen is kennis van [[tensor]]rekenen en [[differentiaalvergelijking]]en nodig.}}
Als uitgegaan wordt van behoud van impuls is de algemene vorm van de Navier-Stokesvergelijking:

:<math>\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{F}</math>

waarin:
*<math>\rho</math> de dichtheid van de stof is;
:<math>\frac{D}{D t}</math> is de [[materiële afgeleide]] (ook wel de lagrangeafgeleide);
*<math>\mathbf{v}</math> is de snelheid (een [[vector (wiskunde)|vectorgrootheid]]);
*<math>F</math> is de [[kracht (hoofdbetekenis)|kracht]] op een lichaam in de stof (ook een vectorgrootheid); en
*<math>\mathbb{P}</math> is een weergave van de [[mechanische spanning]]en die op een deeltje werken, de zogenaamde ''meebewegende spanningstensor'' (een [[tensor]]grootheid).

Tenzij de [[vorticiteit]] van de beweging in de stof per plek verschillend is, is <math>\mathbb{P}</math> een [[Tensor#Symmetrie|symmetrische tensor]], en heeft in drie dimensies de volgende vorm:

:<math>\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
</math>

waarin:
*<math>\sigma</math> de [[normaalspanning]]en zijn; en
*<math>\tau</math> de [[schuifspanning]]en.

De tensor geeft een set van drie vergelijkingen, voor elke dimensie een. Op zichzelf kan hiermee geen oplossing gevonden worden, maar als behoud van massa en de [[randvoorwaarde]]s van het model worden toegevoegd, volgt een oplosbare set vergelijkingen.

==Newtoniaanse en niet-Newtoniaanse vloeistoffen==
{{Zie ook|Zie voor meer uitleg het artikel over [[Newtoniaanse vloeistof]]fen.}}
Een '''Newtoniaanse vloeistof''' is een fluïdum waarvoor geldt dat de [[schuifspanning]] [[recht evenredig]] is met de snelheids[[gradiënt (wiskunde)|gradiënt]] in de richting [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op het [[Vlak (meetkunde)|vlak]] waarlangs [[schuif]] plaatsvindt. Een andere definitie is dat de [[vloeiweerstand]] bij een klein voorwerp dat door de stof beweegt, evenredig is met de kracht die op het voorwerp wordt uitgeoefend (vergelijkbaar met [[wrijving]]).

Bij een [[niet-Newtoniaanse vloeistof]] kan roeren zorgen voor een gat dat langzaam weer opvult. Zulk gedrag is bijvoorbeeld te zien in materialen als [[pudding]] of [[Jam (broodbeleg)|jam]]. Als een niet-Newtoniaanse vloeistof wordt geroerd, kan in sommige gevallen de viscositeit afnemen, waardoor de stof "dunner" lijkt (bijvoorbeeld sommige soorten [[verf]]). Doordat een niet-Newtoniaanse vloeistof gedefinieerd is als iets dat zich niet op een bepaalde manier gedraagt, zijn er veel soorten niet-Newtoniaanse vloeistoffen. In wezen is de newtoniaanse vloeistof een idealisering, die nooit op alle tijds- en lengteschalen geldig is.

===Rekenen met een Newtoniaanse vloeistof===
{{Zie ook|Om deze paragraaf helemaal te kunnen begrijpen is enige kennis van [[tensor]]rekenen nodig.}}
De viscositeit is voor elke stof een [[natuurkundige constante|constante]] die de relatie tussen schuifspanning en de snelheidsgradiënt beschrijft. Het gedrag van een Newtoniaanse vloeistof kan beschreven worden met:

:<math>\tau=\mu\frac{dv}{dx}</math>

waarbij:
:<math>\tau</math> de schuifspanning in de stof is (veroorzaakt door de "[[vloeiweerstand]]" tegen schuif);
:<math>\mu</math> de viscositeit van de stof is - een constante;
:<math>\frac{dv}{dx}</math> de gradiënt van de stroomsnelheid loodrecht op de schuifrichting is.

Bij een Newtoniaanse vloeistof hangt de viscositeit per definitie alleen af van temperatuur en druk, niet van de krachten die op de stof werken. Als de stof niet samengedrukt kan worden en de viscositeit door de stof heen gelijk blijft, kan de schuifspanning in een [[Cartesisch coördinatenstelsel]] worden beschreven als:

:<math>\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)</math>

waarbij:
:<math>\tau_{ij}</math> de schuifspanning is op het <math>i^{de}</math> vlak van een deeltje, werkend in de <math>j^{de}</math> richting;
:<math>v_i</math> de snelheid in de <math>i^{de}</math> richting is;
:<math>x_j</math> is de [[coördinaat]] in de <math>j^{de}</math> richting

Als een stof niet aan deze relatie voldoet, is het per definitie een [[niet-Newtoniaanse vloeistof]].

==Geschiedenis van de vloeistofdynamica==
{{Stamboom/start|style=font-size:67%;float:right;}}
{{Stamboom | | | | | [[Daniel Bernoulli|D. Bernoulli]]<br /> ''Hydrodynamica''<br /> 1738}}
{{Stamboom | |,|-|-|'| |`|-|-|.}}
{{Stamboom | ALB | | CLR | | JBR | ALB =[[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]]<br /> ''Traité de l’équilibre et''<br />''du mouvement des fluides''<br /> 1744 | CLR= [[Alexis Claude Clairaut|Clairaut]]<br /> ''Théorie de la figure''<br />''de la terre''<br /> 1743| JBR=[[Johan Bernoulli|J. Bernoulli]]<br /> ''Hydraulica''<br /> 1713}}
{{Stamboom |!| |,|-|'| | | |!}}
{{Stamboom | d'Alembert<br />''Essai d'une nouvelle theorie''<br />''de la resistance des fluides''<br /> 1749 (1752) | | | | | |!}}
{{Stamboom | |`|-|-|.| |,|-|'}}
{{Stamboom | | | | |[[Leonhard Euler|Euler]]<br /> ''Principia motus fluidorum''<br /> 1752}}
{{Stamboom | | | | | |!}}
{{Stamboom | | | | | Euler<br /> ''Mémoires''<br /> 1755}}
{{Stamboom/eind}}
[[Blaise Pascal]] droeg bij tot een eerste theorie in dit domein in de [[17e eeuw]]. De term ''hydrodynamica'' werd voor het eerst gebruikt door [[Daniel Bernoulli]] als titel van zijn werk ''Hydrodynamica'' ([[1738]]). Bernoulli en [[Leonhard Euler]] ontwikkelden de algemene vergelijkingen van de hydrodynamica.

Het werk werd voortgezet door [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736-1813) met het Euler-Lagrange systeem en [[Jean Le Rond d'Alembert]] (1717-1783) ontdekte de [[Cauchy-Riemann-vergelijkingen]].
[[Pierre Simon Laplace]] (1749-1827) kwam met de naar hem genoemde vergelijking over de [[potentiaalstroming]]. [[Hermann von Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821-1894) bestudeerde maalstromen, en vond samen met [[Lord Kelvin]] (1824-1907) de [[Kelvin-Helmholtz-instabiliteit]].

==Zie ook==
* [[Stromingsleer]]
* [[Hydraulica]]
* [[Hydrostatica]]
* [[Aerodynamica]]
* [[Reynoldsgetal]]

== Literatuur ==
* {{aut|White, F.M.}} (2002): ''Fluid Mechanics'', McGraw-Hill Companies, Inc.
* {{aut|Calero, J.S.}} (2008): ''The genesis of fluid mechanics, 1640-1780'', Springer.

{{Navigatie dimensieloze getallen}}
{{Commonscat|Fluid dynamics}}
{{Wikibooks|Vloeistofmechanica}}

[[Categorie:Continuümmechanica]]
[[Categorie:Scheepsbouwkunde]]
[[Categorie:Vloeistofdynamica]]