Brontekst bekijken van Vermoeden van Erdős-Straus

Het '''vermoeden van Erdős-Straus''' is een nog niet bewezen [[vermoeden]] uit de [[getaltheorie]] dat stelt dat door welk getal groter dan 1 je 4 ook deelt, het [[quotiënt]] altijd de som van drie [[stambreuk]]en is. [[Paul Erdős]] en [[Ernst G. Straus]] stelden het vermoeden op in 1948. Het is een van de vele vermoedens van Erdős.

Formeel luidt het vermoeden:
voor iedere gehele <math>n\ge 2</math> geldt dat er positieve getallen <math>x,y,z\in \Z</math> zijn, zo dat
:<math>\frac 4n = \frac 1x + \frac 1y + \frac 1z.</math>

==Berekende toetsing==
Verscheidene auteurs hebben met [[Brute_force_(methode)|brute kracht]] naar tegenbewijs gezocht. Dit zoeken ging een stuk sneller door alleen priemgetallen te bekijken met verschillende [[equivalentierelatie]]s. Zo heeft [[Allan Swett]] dit bekeken tot <math>10^{14}</math>.<ref name="swett">https://web.archive.org/web/20060803103919/http://math.uindy.edu/swett/esc.htm</ref>

==Modulaire gelijkheid==
Als beide kanten van de vergelijking <math>4/n = 1/x + 1/y +1/z</math> met <math>nxyz</math> vermenigvuldigd worden, ontstaat de vergelijking <math>4xyz = n(xy + xz + yz)</math>. Als [[Polynoom|polynomiale]] vergelijking met [[Geheel getal|gehele getallen]] is dit een [[diofantische vergelijking]].

==Het aantal oplossingen==
Het aantal verschillende mogelijkheden als functie van <math>n</math> om <math>4/n</math> als som van 3 stambreuken te schrijven heeft computers ook aan het rekenen gezet. Dit aantal schijnt onregelmatig te groeien met <math>n</math>. Te beginnen bij <math>n=3</math> is het aantal verschillende mogelijkheden:

:1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (rij A073101) in [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]].

Zelfs voor grotere <math>n</math> kunnen er relatief weinig oplossingen zijn. Zo zijn er bijvoorbeeld maar 7 verschillende oplossingen voor <math>n=73</math>.

==Externe link==
* [https://oeis.org/A073101 OEIS Rij A073101]

{{Appendix}}

[[Categorie:Getaltheorie]]
[[Categorie:Wiskundig vermoeden|Erdos-Straus]]