Brontekst bekijken van Vectorruimte

[[Afbeelding:Vector addition ans scaling.png|thumb|Optellen van vectoren|250px]]

Een '''vectorruimte''', ook '''lineaire ruimte''' genoemd, is een [[wiskundige structuur]] die wordt gevormd door een verzameling elementen die [[Vector (wiskunde)|vectoren]] worden genoemd, die bij elkaar kunnen worden opgeteld en die kunnen worden vermenigvuldigd met getallen die in deze context [[scalair]]en worden genoemd. Vaak zijn de scalairen [[Reëel getal|reële getallen]], maar er bestaan ook vectorruimten waarin de scalairen [[Complex getal|complexe getallen]], [[Rationaal getal|rationale getallen]] of heel algemeen elementen van een willekeurig [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|veld (Vlaams) of lichaam (Nederlands)]] zijn. Dat hangt van de definitie af. De [[Operatie (wiskunde)|operaties]] van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde [[Axioma|axioma's]]. 

De [[Euclidische ruimte|euclidische vectorruimte]] is voor elke dimensie een voorbeeld van een vectorruimte. De twee- en driedimensionale euclidische vectorruimte worden vaak gebruikt om [[Natuurkunde|natuurkundige]] grootheden, zoals [[kracht]]en weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, de resultante, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een krachtvector. Als meer [[Meetkunde|meetkundig]] voorbeeld, vormen vectoren die [[Translatie (meetkunde)|translaties]] in het [[Vlak (meetkunde)|vlak]] of in de driedimensionale [[Ruimte (wiskunde)|ruimte]] weergeven, ook vectorruimten.

Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de [[lineaire algebra]]. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een [[Norm (vector)|norm]] of een [[inwendig product]], toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de [[Analyse (wiskunde)|wiskundige analyse]], vooral in de gedaante van [[Oneindige verzameling|oneindig]]-dimensionale [[functieruimte]]n waarvan de vectoren [[Functie (wiskunde)|functie]]s zijn. Een belangrijke vraag is of een [[Rij (wiskunde)|rij]] vectoren naar een bepaalde vector [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]]. Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om begrippen als [[Afstand (wiskunde)|afstand]] en [[Continue functie (analyse)|continuïteit]] in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte [[topologische vectorruimte]]n, met name [[banachruimte]]n en [[hilbertruimte]]n, hebben een rijkere theorie.

Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse [[analytische meetkunde]], [[Matrix (wiskunde)|matrices]], [[Stelsel van lineaire vergelijkingen|stelsels lineaire vergelijkingen]] en euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door [[Giuseppe Peano]] geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de euclidische ruimte. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën, zoals [[Lijn (meetkunde)|lijnen]], vlakken en hun hogerdimensionale generalisaties.

Vectorruimten vindt men in de gehele wiskunde, de [[natuurwetenschap]]pen en de [[technische wetenschappen]]. Zij vormen het geschikte algebraïsche begrip om met stelsels lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de [[fourierreeks]]en, die worden gebruikt in [[algoritme]]n voor [[beeldcompressie]], en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor [[partiële differentiaalvergelijking]]en. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals [[tensor]]en, die op hun beurt het onderzoek van de lokale [[Eigenschap (filosofie)|eigenschap]]pen van [[Variëteit (wiskunde)|variëteiten]] door linearisatietechnieken mogelijk maken. Het begrip vectorruimte kan ook in verschillende richtingen worden gegeneraliseerd, wat tot geavanceerde begrippen leidt in de meetkunde en de [[abstracte algebra]].

{{Zijbalk algebraïsche structuren}}

== Geschiedenis ==
Het begrip vectorruimte vloeit uit de [[affiene meetkunde]] voort, via de introductie van [[Coördinaat|coördinaten]] in het platte [[Vlak (meetkunde)|vlak]] of in de gebruikelijke driedimensionale [[Ruimte (wiskunde)|ruimte]]. De Franse wiskundigen [[René Descartes|Descartes]] en [[Pierre de Fermat|Fermat]] legden rond 1636 de basis voor de [[analytische meetkunde]] door de oplossingen van een vergelijking met twee [[variabele]]n te koppelen aan het verloop van een tweedimensionale [[kromme]].

[[Bernard Bolzano]] introduceerde in 1804 bepaalde operaties op [[Punt (wiskunde)|punten]], [[Lijn (meetkunde)|lijnen]] en [[Vlak (meetkunde)|vlakken]] die als voorlopers van [[Vector (wiskunde)|vectoren]] kunnen worden gezien.<ref>{{aut|Bernard Bolzano|Bernard Bolzano}}, [https://eudml.org/doc/202386 Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie], 1804.</ref> Hij deed dat om zonder van coördinaten gebruik te maken tot een meetkundige oplossing te komen. [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] heeft dit werk in 1827 geanalyseerd en werkte daarbij met [[barycentrische coördinaten]].<ref>{{aut|August Ferdinand Möbius|August Ferdinand Möbius}}. [https://web.archive.org/web/20090412013616/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie], 1827.</ref> De beslissende stap in de definitie van vectoren was Bellavitis' definitie van het bipunt: een richtinggevend segment waarvan een van de uiteinden de [[Oorsprong (wiskunde)|oorsprong]] is en de ander het doel.

Vectorruimten werden in een nieuw licht geplaatst door de introductie van het [[complexe vlak]] door [[Jean-Robert Argand]] en [[William Rowan Hamilton]] en de introductie van [[quaternion]]en <math>\mathbb{H}</math> en [[octonion]]en <math>\mathbb{O}</math> door de laatstgenoemde. De [[lineaire combinatie]] is een idee van [[Edmond Laguerre|Laguerre]] uit 1867, die in dat jaar [[Stelsel van lineaire vergelijkingen|stelsels lineaire vergelijkingen]] definieerde.

[[Arthur Cayley|Cayley]] introduceerde in 1857 zijn [[Matrix (wiskunde)|matrixnotatie]], die het mogelijk maakte de notatie van [[lineaire afbeelding]]en tussen vectorruimten te vereenvoudigen.

[[Hermann Grassmann|Grassmann]] rekende tegelijkertijd met barycentrische coördinaten, die door Möbius waren ingevoerd, en waarmee hij [[Verzameling (wiskunde)|verzamelingen]] van [[Object (wiskunde)|wiskundige objecten]], uitgerust met operaties, onderzocht.<ref>{{aut|Hermann Grassmann|Hermann Grassmann}}. [https://bookstore.ams.org/hmath-19/ Extension Theory], 2000. voor de [[American Mathematical Society]] ISBN 978-0-8218-2031-5</ref> Zijn werk ging verder dan de [[lineaire algebra]] en met de manier waarop hij de [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]] behandelde voerde hij [[Algebra (structuur)|algebra's]] in. De begrippen [[Dimensie (lineaire algebra)|dimensie]] en [[lineaire onafhankelijkheid]] komen in zijn werk voor, evenals het [[Inwendig product|inwendige product]], 1844. [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] vocht het  in zijn publicatie ''Sur les clefs algébriques'' aan dat Grassmann het eerste met deze ideeën was gekomen.

De Italiaanse wiskundige [[Giuseppe Peano|Peano]], die er veel aan heeft bijgedragen de [[wiskunde]] op [[Axioma|axioma's]] terug te voeren, vooral in de [[verzamelingenleer]], was een van de eersten die rond het einde van de 19de eeuw met de moderne definitie van vectorruimten werkte.<ref>{{aut|Giuseppe Peano|Giuseppe Peano}}. [https://books.google.com.my/books?id=DDZ-GQAACAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false Calcolo Geometrico], 1888. op [[Google Books]]</ref>

Een belangrijke ontwikkeling van de vectorruimten is te danken aan de constructie van [[functieruimte]]n door [[Henri Lebesgue]]. Deze theorie werd later door [[David Hilbert]] en [[Stefan Banach]] nauwkeurig beschreven, in zijn proefschrift uit 1920. De [[algebra]] en het nieuwe terrein van de [[functionaalanalyse]] begonnen op dit moment op elkaar in te werken, met belangrijke ideeën zoals ruimten van <math>p</math>-integreerbare functies en [[hilbertruimte]]n. De eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten werden ook in die tijd uitgevoerd.

== Definitie ==
Een vectorruimte <math>\mathbf{V}</math> over een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam (Ned) / veld (Be)]] <math>K</math> is een [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van [[Element (wiskunde)|elementen]], aangeduid als [[Vector (wiskunde)|vectoren]], waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een som van twee vectoren, genoteerd met <math>+</math>, en een scalaire vermenigvuldiging van een element uit <math>K</math> een scalair met een vector, genoteerd met <math>*</math> of <math>\cdot</math>, vaak wordt de operator ook weggelaten. Deze bewerkingen moeten voldoen aan de volgende voorwaarden:

Voor alle drie al dan niet verschillende vectoren <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> en twee scalairen <math>a, b \in K</math> geldt:
# <math>\mathbf{v} + \mathbf{w}</math> is weer een vector in <math>\mathbf{V}</math>, <br> <math>\mathbf{V}</math> is [[Afsluiting (verzameling)|gesloten]] onder de optelling van vectoren
# <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> <br> De optelling van vectoren is [[Associativiteit (wiskunde)|associatief]].
# Er bestaat een element <math>\mathbf{0} \in \mathbf{V}</math>, zo dat voor alle vectoren <math>\mathbf{v} \in \mathbf{V}</math> geldt: <math>\mathbf{\mathbf{0}} + \mathbf{v} = \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{0}</math>. <br> Het element <math>\mathbf{0}</math> wordt de [[additieve identiteit]] of de [[nulvector]] genoemd. Men kan aantonen dat de additieve identiteit uniek is. Aangezien het zelden tot verwarring aanleiding geeft, schrijft men ook alleen 0 in plaats van <math>\mathbf{0}</math>.
# Voor alle vectoren <math>\mathbf{v}</math> bestaat er een vector <math>-\mathbf{v}</math> zo dat <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> <br> De vector <math>- \mathbf{v}</math> noemt men het [[inverse]] element of de tegengestelde vector van <math>\mathbf{v}</math>.
# <math>\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}</math> <br> De optelling van vectoren is [[commutatief]].
# <math>a * \mathbf{v}</math> is weer een vector uit <math>\mathbf{V}</math> <br> <math>\mathbf{V}</math> is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
# <math>a * ( b * \mathbf{v} )= ( a b ) * \mathbf{v}</math> <br> De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
# Als 1 het [[Neutraal element|neutrale element]] is van <math>K</math> voor de scalaire vermenigvuldiging, geldt <math>1 * \mathbf{v} = \mathbf{v}</math>.
# <math>a * ( \mathbf{v} + \mathbf{w} ) = a * \mathbf{v} + a * \mathbf{w}</math> <br> De scalaire vermenigvuldiging is [[Distributiviteit|distributief]] over de optelling van vectoren.
# <math>( a + b ) * \mathbf{v} = a * \mathbf{v} + b * \mathbf{v}</math> <br> De scalaire vermenigvuldiging is distributief over de optelling van scalairen.

Merk op dat het [[optellen]] van twee scalairen in <math>K</math> en van twee vectoren in <math>\mathbf{V}</math> verschillende bewerkingen zijn.

De eigenschappen 1 t/m 5 zijn equivalent met de eigenschap dat <math>V</math> een [[Abelse groep|abelse of commutatieve groep]] is onder de optelling. Door <math>K</math> te vervangen door een willekeurige ring <math>R</math>, vormen de voorwaarden de definitie van een [[Moduul|{{math|R}}-moduul]]. Een vectorruimte is een soort moduul.

Uit de definitie volgt onder meer:
* <math>a\ \mathbf{v} = \mathbf{0}</math> dan en slechts dan als <math>a = 0</math> of <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math>
* <math>-1 \times \mathbf{v} = - \mathbf{v}</math>

Een vectorruimte waarop een [[Norm (vector)|norm]] en daarmee het begrip [[Afstand (wiskunde)|afstand]] is gedefinieerd, heet een genormeerde vectorruimte.

== Reële en complexe vectorruimte ==
Veelgebruikte vectorruimten zijn die waarin <math>K</math> de reële getallen <math>\R</math> of de complexe getallen <math>\Complex</math> is. De vectorruimte <math>V</math> heet dan een reële en een complexe vectorruimte. Complex slaat hier dus op <math>K</math>, maar niet op <math>V</math>: de vectorruimte <math>\Complex ^n</math> met reële scalairen is [[Isomorfisme|isomorf]] met <math>\R ^{2n}</math>.

== Voortbrengend deel, vrij deel, basis en dimensie ==
Men zegt dat een verzameling vectoren <math>A</math> een [[Voortbrengen (lineaire algebra)|voortbrengend deel]] van een vectorruimte <math>V</math> is, als <math>V</math> de kleinste vectorruimte is die <math>A</math> bevat. Dit houdt niet alleen in dat <math>V</math> alle [[lineaire combinatie]]s van vectoren uit <math>A</math> bevat, maar ook dat alle vectoren in <math>V</math> lineaire combinaties zijn van vectoren uit <math>A</math>.

Het stelsel vectoren <math>B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> heet een vrij deel als de vectoren uit <math>B</math> [[lineair onafhankelijk]] zijn, dus als:
: <math>\sum_{i=1}^n \alpha_i b_i = 0 \Rightarrow \forall i: \alpha_i = 0</math>

Dit wil zeggen dat de enige lineaire combinatie van vectoren in <math>B</math> die nul oplevert, de combinatie is met alle coëfficiënten nul. Het gevolg is dat verschillende lineaire combinaties van vectoren in <math>B</math> ook verschillende vectoren voorstellen.

Een [[Basis (algebra)|basis]] van <math>V</math> is een deelverzameling die zowel een voortbrenger van <math>V</math> is als een vrij deel in <math>V</math>. Men kan onder aanname van het [[keuzeaxioma]] aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee de hele vectorruimte opgebouwd kan worden, door scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen. In een gegeven vectorruimte <math>V</math> kan een basis op verschillende manieren worden gekozen, maar het aantal vectoren in een basis van <math>V</math>, de [[kardinaliteit]] ervan, is altijd gelijk.

Het aantal vectoren van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal onderling onafhankelijke richtingen in de vectorruimte.

Als het lichaam <math>K</math> eindig is, geldt:
* bij een eindige basis is <math>V</math> eindig,
* bij een aftelbaar oneindige basis is <math>V</math> aftelbaar oneindig.

== Deelruimte ==
Een deelruimte of [[lineaire deelruimte]] is een [[deelverzameling]] van een vectorruimte die zelf ook weer een vectorruimte over hetzelfde lichaam is. Elke vectorruimte bevat twee triviale deelruimtes: zichzelf en ook de kleinst mogelijke deelruimte, die alleen uit de [[nulvector]] bestaat.

== Voorbeelden ==
=== Coördinaten- en functieruimten ===
Een voorbeeld van een vectorruimte over een lichaam/veld <math>K</math> is de [[coördinatenruimte]] <math>K^n</math>, waarvan de elementen [[tupel|<math>n</math>-tupels]] zijn, rijen <math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math> van lengte <math>n</math> van elementen <math>a_i\in K</math>.<ref>{{aut|Serge Lang}}, 1987. hoofdstuk I.1</ref> Bij een gegeven <math>n</math>-dimensionale vectorruimte over <math>K</math> correspondeert met iedere basis een [[isomorfisme]] met <math>K^n</math>. Zowel de [[Rij- en kolomvector|kolom- als de rijvectoren]] van de betreffende lengte vormen ook zo'n isomorfe vectorruimte. 

Meer in het algemeen vormen functies van elke vaste verzameling <math>\Omega</math> naar een lichaam/veld <math>K</math> (het [[Cartesisch product#Product van een willekeurig grote familie verzamelingen|product]] van een [[geïndexeerde familie]] van gelijke vectorruimten <math>K</math>, met [[indexverzameling]] <math>\Omega</math>) ook vectorruimten, door de optelling en de scalaire vermenigvuldiging puntsgewijze uit te voeren. Dat wil zeggen dat de som van twee functies <math>f</math> en <math>g</math> wordt gegeven door
: <math>(f + g)(w) = f(w) + g(w)</math>

en de scalaire vermenigvuldiging door: 
: <math>(af)(w) = a(f(w))</math>.

Met <math>K^\Omega</math> wordt de verzameling bedoeld van alle functies <math>\Omega \to K</math>. Daarmee komt het cartesisch product <math>K^n</math> overeen met <math>K^{\{1,2,\ldots,n\}}.</math> Als <math>\Omega</math> een oneindige verzameling is, is <math>K^\Omega</math> een oneindigdimensionale vectorruimte. De ruimte <math>K^\N</math>, ook <math>K^\infty</math> genoemd, is de ruimte van alle oneindige rijen van elementen in <math>K</math>. De verzameling <math>\Omega</math> kan ook overaftelbaar zijn, bijvoorbeeld het interval <math>[0,1],</math> zodat <math>K^{[ 0,1]}</math> de ruimte is van alle functies op dit interval. Bij oneindige <math>\Omega</math> wordt in veel gevallen alleen een deelruimte beschouwd, bijvoorbeeld rijen of functies met eindige drager, of [[Lp-ruimte|{{math|L<sup>p</sup>}}]], een [[Norm (vector)|genormeerde]] vectorruimte. De verzameling functies en de norm worden in samenhang met elkaar gekozen, zodat de norm nooit oneindig wordt.

Zulke [[functieruimte]]n komen in veel situaties in de [[meetkunde]] voor, bijvoorbeeld als <math>\Omega</math> de [[reële lijn]], een [[Interval (wiskunde)|interval]], of andere deelverzamelingen van <math>\R^n</math> voorstelt. Veel begrippen uit de [[topologie]] en de analyse, zoals continuïteit, [[Integraalrekening|integreerbaarheid]] of [[differentieerbaarheid]] gedragen zich goed met betrekking tot de lineariteit: optellen en het nemen van een scalair veelvoud van functies, die een dergelijk eigenschap bezitten, beschikken na deze bewerking nog steeds over deze eigenschap.<ref>{{aut|Serge Lang}}, 1993. hoofdstuk XII.3, blz 335</ref> Daarom zijn dergelijke verzamelingen van functies vectorruimten. Zij worden meer in detail bestudeerd door gebruik te maken van de methoden uit de [[functionaalanalyse]]. Algebraïsche beperkingen leveren ook vectorruimten op: de [[veeltermring]] <math>K[x]</math>, zowel een vectorruimte als een [[Ring (wiskunde)|ring]], wordt gegeven door de verzameling van alle [[Polynoom|polynomen]], dus van willekeurige graad <math>n</math>:
: <math>f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n</math>, met de [[Polynoom#Coëfficiënten|coëfficiënten]] <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in K</math>.<ref>{{aut|Serge Lang}}. 1987. hoofdstuk IX.1</ref>

=== Lineaire vergelijkingen ===
[[Stelsel van lineaire vergelijkingen|Stelsels van lineaire vergelijkingen]] die [[Homogene vergelijking|homogeen]] zijn, zijn nauw verbonden aan vectorruimten.<ref>{{aut|Serge Lang}}. 1987 hoofdstuk VI.3.</ref> De oplossingen van
: <math>
\begin{alignat}{7}
a  &\ +\ & 3b &\ -\ &  c &\ = &\ 0 \\
4a &\ -\ & 2b &\ +\ & 2c &\ = &\ 0 \\
\end{alignat}
</math>

worden bijvoorbeeld gegeven door drietallen <math>(a, b, c)</math> met <math>b = a/2</math> en <math>c = -5a/2</math>. Deze drietallen vormen een vectorruimte: optellingen en scalaire veelvouden voldoen steeds aan dezelfde verhoudingen van de drie variabelen, dus zijn zij oplossingen voor het stelsel van vergelijkingen. Om [[lineaire vergelijking]]en, zoals hierboven, compacter op te schrijven, kan men gebruikmaken van matrices, bijvoorbeeld
: <math>\mathbf{Ax} = 0</math>

waarin 
: <math>\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2
\end{bmatrix}</math>

de [[Matrix (wiskunde)|matrix]] is die de [[coëfficiënt]]en van de gegeven vergelijkingen bevat, de [[Rij- en kolomvector|kolomvector]] <math>\mathbf{x} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}</math> de onbekenden bevat, <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}</math> de [[nulvector]] is, en <math>\mathbf{Ax}</math> de [[matrixvermenigvuldiging]] van <math>\mathbf{A}</math> en <math>\mathbf{x}</math>.

De oplossingen van een homogene [[lineaire differentiaalvergelijking]] vormen ook een vectorruimte. De vergelijking 
: <math>f'' + 2f' + f = 0</math>
bijvoorbeeld heeft als oplossingen de functies
: <math>f(x) = ae^{-x} + bxe^{-x}</math>,

waarin <math>a</math> en <math>b</math> willekeurige constanten zijn.

== Uitbreidingen ==
[[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)|Lichaams-/velduitbreidingen]] <math>K/E</math>, uitgesproken <math>K</math> over <math>E</math>, vormen een andere klasse van vectorruimten, met name in de algebra en de [[algebraïsche getaltheorie]]: een lichaam/veld <math>K</math> dat een [[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)|uitbreiding]] is van <math>E</math> wordt onder de gegeven vermenigvuldiging en optellingsoperaties van <math>K</math> een <math>E</math>-vectorruimte.<ref>{{aut|Serge Lang}}. 2002, hoofdstuk V.1</ref> De complexe getallen zijn bijvoorbeeld een vectorruimte over <math>\R</math>. Een bijzonder interessant type velduitbreiding in de [[getaltheorie]] is <math>\Q(\alpha)</math>, de uitbreiding van de rationale getallen <math>\Q</math> met een gegeven complex getal <math>\alpha</math>. <math>\Q(\alpha)</math> is het kleinste lichaam/veld dat de rationale en een gegeven complex getal <math>\alpha</math> bevat. De [[Dimensie (lineaire algebra)|dimensie]] als een vectorruimte over <math>\Q</math> is afhankelijk van de keuze van <math>\alpha</math>.

Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam/veld. Bij een moduul eist men dus niet dat <math>K</math> een lichaam/veld is, maar wel dat <math>K</math> een ring is. Elke vectorruimte is dus een moduul en alle eigenschappen van modulen gelden ook voor vectorruimten.

== Literatuur ==
=== Lineaire algebra ===
* {{en}} {{aut|Serge Lang|Serge Lang}}. Linear algebra, Springer-Verlag, Berlijn, New York, {{ISBN|978-0-387-96412-6}}, 1987
* {{en}} {{aut|Serge Lang}}. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, {{ISBN|978-0-387-95385-4}}, 2002

=== Analyse ===
* {{en}} {{aut|Serge Lang}}. Real analysis, Addison-Wesley, {{ISBN|978-0-201-14179-5}}, 1983
* {{en}} {{aut|Serge Lang}}. Real and functional analysis, Berlijn, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-94001-4}}, 1993

=== Historisch ===
* {{fr}} {{aut|Stefan Banach|Stefan Banach}}. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf zie hier], [[Fundamenta Mathematicae]], {{ISSN|0016-2736}}, vol 3, 1922
* {{de}} {{aut|Bernard Bolzano|Bernard Bolzano}}. Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) [http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 zie hier], 1804
* {{de}} {{aut|Hermann Grassmann|Hermann Grassmann}}. Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik, [http://books.google.com/?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik zie hier], O. Wigand, 1844
* {{de}} {{aut|August Ferdinand Möbius|August Ferdinand Möbius}}. Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) [https://web.archive.org/web/20090412013616/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 zie hier], 1827
* {{it}} {{aut|Giuseppe Peano|Giuseppe Peano}}. Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turijn, 1888

== Voetnoten ==
{{References}}

{{Commonscat}}

[[Categorie:Lineaire algebra]]
[[Categorie:Vector]]
[[Categorie:Vectorcalculus]]
[[Categorie:Wiskundige ruimte]]
[[Categorie:Wiskundige structuur]]