Brontekst bekijken van Talstelsel met basis gulden snede

Het '''talstelsel met de gulden snede als basis''' is een [[positiestelsel]] waarin elk niet-negatief [[reëel getal]] kan worden voorgesteld door een reeks van machten van de [[gulden snede]], het irrationale getal

:<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math>,

zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende [[Macht (wiskunde)|machten]] van <math>\varphi</math> voorkomen. Deze voorstelling, die uniek is, wordt de ''standaardvorm'' genoemd. Zo worden de getallen 1 tot en met 9 in dit talstelsel voorgesteld door:

:{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! getal !! machtreeks in <math>\varphi</math> !! met basis <math>\varphi</math>
|-----
| 1 || <math>\varphi^0</math> || 1
|-----
| 2 || <math>\varphi^1 + \varphi^{-2}</math> || 10,01
|-----
| 3 || <math>\varphi^2 + \varphi^{-2}</math> || 100,01
|-----
| 4 || <math>\varphi^2 + \varphi^0 + \varphi^{-2}</math>
| 101,01
|-----
| 5 || <math>\varphi^3 + \varphi^{-1} + \varphi^{-4}</math>
| 1000,1001
|-----
| 6 || <math>\varphi^3 + \varphi^1 + \varphi^{-4}</math>
| 1010,0001
|-----
| 7 || <math>\varphi^4 + \varphi^{-4}</math> || 10000,0001
|-----
| 8 || <math>\varphi^4 + \varphi^0 + \varphi^{-4}</math>
| 10001,0001
|-----
| 9 || <math>\varphi^4 + \varphi^1 + \varphi^{-2} + \varphi^{-4}</math>
| 10010,0101
|}

In dit talstelsel kan een getal dus voorgesteld worden in de standaardvorm door een rij nullen en enen, zonder dat direct na elkaar twee enen voorkomen. Het is ook mogelijk een niet-standaardvorm als representatie te geven. Een rij waarin wel de [[deelrij]] "11" voorkomt, kan omgeschreven worden in de standaardvorm door de deelrij "11" te vervangen door "100" (en verder om te rekenen), gebruikmakend van de relatie:

:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>.

Zo is bijvoorbeeld:
:<math>4+5 = 101{,}01_\varphi + 1000{,}1001_\varphi = 1101{,}1101_\varphi = 10001{,}1101_\varphi = 10010{,}0101_\varphi=9</math>

De omrekening had ook als volgt kunnen gaan:
:<math>1101{,}1101_\varphi =10001{,}1101_\varphi = 10002{,}0001_\varphi = 10010{,}0101_\varphi</math>.

==Uniciteit==
De eindige standaardvorm is uniek bepaald. Net zoals in het [[decimaal|decimale stelsel]] het getal 1 ook voorgesteld kan worden als 1 = 0,999…, heeft 1 ook in de voorstelling met basis <math>\varphi</math> een oneindige repeterende vorm:

:<math>1 = 0{,}10101010\ldots</math>
Immers:
:<math>0{,}10101010\ldots = \varphi^{-1}\sum_{k=0}^\infty \varphi^{-2k}=\frac{\varphi^{-1}}{1-\varphi^{-2}}=\frac{\varphi}{\varphi^2-1}=1</math>

Daarmee heeft elke eindige voorstelling ook een oneindige repeterende voorstelling, die ontstaat door de laatste 1 te vervangen door de bovenstaande oneindige voorstelling daarvan.

==Natuurlijke getallen==
Elk [[natuurlijk getal]] heeft een eindige ontwikkeling als [[machtreeks]] in <math>\varphi</math>, maar niet iedere eindige voorstelling is een natuurlijk getal. Eenvoudig is in te zien dat:

:<math>1+\sqrt{5} = 2\varphi = 20_\varphi = 100{,}1_\varphi</math>

==Rationale getallen==
Net als in het decimale stelsel heeft een [[rationaal getal]] een eindige voorstelling of een voorstelling met een repeterend gedeelte. Zo is

:<math>\tfrac 12 = 0{,}010 010 010\ldots</math>

Controle:

:<math>2\times 0{,}010 010 010\ldots =0{,}020 020 020\ldots = 0{,}10101010\ldots = 1</math>

==Zie ook==
*[[Stelling van Zeckendorf]]

[[Categorie:Getalsysteem]]